理解泰勒公式·漫画

泰勒公式就是下面一长串啦

• 如果我们要求函数 f(x) 在 x=a 处的三阶导数：
  等式左边当然是 f′′′(a)
  等式右边的 f(a) ， f′(a) ， f′′(a) 分别在第一次求导，二次求导和三次求导中求导成了0；而后面的456更高阶幂函数代入 x=a 全为0；而三次求导可以消去 3! ，所以右边也是 f′′′(a)

假如有两辆车：一辆兰博基尼，一辆QQ，这两辆车同时停在起跑线上，跑道是无限长的笔直公路，准备比赛，我提出一个问题，十秒后，他俩跑的距离是一样的吗？

我们目前已知的条件只有，两车的初速度都是0，但是显然我们都知道兰博基尼发动机可真强劲，不是qq能比的，发动机越强劲，那么加速度就越大，显然我们就可以知道，这种情况下，十秒后，兰博基尼早把qq甩得没影了。

于是qq车主发奋图强，改装发动机，让qq的加速度和兰博基尼一模一样，那么由于他们加速度一模一样，那么很显然十秒后，两车所跑得距离也是一样，这很简单对吧。但是实际情况往往比较复杂，复杂在哪里呢？那就是，加速度他不是个常量，是个随时间变化的函数，也就是说，加速度也有个导数，那个导数就是加速度的变化，复杂的是，加速度的加速度也不是个常数，他也在随时间变化，于是加速度的加速度也有个导数，叫加速度的加速度的加速度·······所以QQ想要真的在很长一段时间之后和兰博基尼跑的一样快，就需要很多很多次求导之后的值还一样。

不过有一点很关键，这也是泰勒想到一个关键的点，那就是，只要两个事物的初始的速度相同，初速度随时间变化的情况相同，初速度随时间变化的变化相同，初速度随时间变化的变化的变化相同······如果推到极限，那么这两者的运动轨迹就会无限相同

根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有： limΔx→0(f(x0−Δx)−f(x0))=f′(x0)Δx （导数公式的变形）
所以就有： f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+α
其中 α 是 Δx→x0 的前提下才趋于0，所以在近似计算中往往不够精确

于是就需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x−x0)+A2(x−x0)2+⋯+An(x−x0)n 来近似的表示函数 f(x) ，且误差为 f(x)−P(x) 的具体表达式。设P(x)满足：

P(x0)=f(x0)
P′(x0)=f′(x0)
P′′(x0)=f′′(x0)
⋯
P(n)(x0)=f(n)(x0)

这样我们就可以求出 P(x) 的系数了，也就可以近似的表示 f(x) 了
P(x0)=f(x0)=A0
P′(x0)=f′(x0=A1)
P′′(x0)=f′′(x0)=2!A2
⋯
P(n)(x0)=f(n)(x0)=n!An

于是 P(x) 就可以变成：
P(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n

这样我们就得到了泰勒公式的展开式了。

那么余项就是 f(x)−P(x)=R(x)
其中当 x=x0 时：
Rn(x0)=f(x0)−P(x0)=0
此时：
Rn(x0)=R′n(x0)=R′′n(x0)=⋯=R(n)n(x0)=0

R(x) 的表达形式有很多种哦

淡定，截止目前为止我们得到了一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式，以及这个多项式的系数的推导过程，这能帮助我们更好的理解泰勒公式。

稍后更新余项的估计········