搜索与回溯算法

为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索，如此反复进行，直至得到解或证明无解。

一、前言

搜索与回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。回溯是搜索算法中的一种控制策略。它的基本思想是：为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索，如此反复进行，直至得到解或证明无解。

如迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步步向前试探前进,如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走，这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。按此原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口处无解为止。

二、搜索框架

递归回溯法算法框架[一]
int Search(int k)
{
　for (i=1;i<=算符种数;i++)
　　if (满足条件)
　　   {
　　　　保存结果
　　　　if (到目的地) 输出解;
　　　           else Search(k+1);
　　　　恢复：保存结果之前的状态{回溯一步}
　 　  }
}
递归回溯法算法框架[二]
int Search(int k)
　{
　  if  (到目的地) 输出解;
　　　else
　　　　for (i=1;i<=算符种数;i++)
　　　　　if  (满足条件) 
　　　　　　　{
　　　　　　　　保存结果;
　　　                  Search(k+1);
　　　　　　　　恢复：保存结果之前的状态{回溯一步}
　　　　　　　}
　}

三、例题

【例1】

【题目】素数环:从1到20这20个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素数。
【算法分析】
非常明显，这是一道回溯的题目。从1开始，每个空位有20种可能，只要填进去的数合法：与前面的数不相同；与左边相邻的数的和是一个素数。第20个数还要判断和第1个数的和是否素数。
【算法流程】
1、数据初始化； 2、递归填数：判断第i个数填入是否合法；
A、如果合法：填数；判断是否到达目标（20个已填完）：是，打印结果；不是，递归填下一个；
B、如果不合法：选择下一种可能；

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
bool b[21]={0};
int total=0,a[21]={0};
int search(int);                           //回溯过程
int print();                               //输出方案
bool pd(int,int);                          //判断素数
int main()
{
    search(1);
    cout<<total<<endl;                    //输出总方案数
}
int search(int t)
{
    int i;
    for (i=1;i<=20;i++)                     //有20个数可选
     if (pd(a[t-1],i)&&(!b[i]))            //判断与前一个数是否构成素数及该数是否可用
      {
         a[t]=i;
         b[i]=1;
         if (t==20) { if (pd(a[20],a[1])) print();}
             else search(t+1);
         b[i]=0;
      }
}
int print()
{
   total++;
   cout<<"<"<<total<<">";
   for (int j=1;j<=20;j++)
     cout<<a[j]<<" ";
   cout<<endl; 
  }
//若一个数 n 不能被 2 和√n 之间的数整除（取余为 0），则可判断 n 为素数。
bool pd(int x,int y)
{
    int k=2,i=x+y;
    while (k<=sqrt(i)&&i%k!=0) k++;
    if (k>sqrt(i)) return 1;
       else return 0;
}
//最终答案有6309300种方式

【例2】

【题目】设有n个整数的集合｛1,2,…,n｝，从中取出任意r个数进行排列（r

/**
搜索和回溯基本框架
search(i)
{
	for(所有算子){
		if(条件成立){
			存储结果
			if(到达目的地) 输出
			else search(i+1)
			回溯
		}
	}
}
*/
#include
#include
#include
using namespace std;
int num=0,a[10001]= {0},n,r;
bool b[10001]= {0};
int search(int);       //回溯过程
int print();         //输出方案

int main() {
	cout<<"input n,r:";
	cin>>n>>r;
	search(1);
	cout<<"number="<<num<<endl;     //输出方案总数
}
int search(int k) {
	int i;
	for (i=1; i<=n; i++)
		if  (!b[i]) {    //判断i是否可用
			a[k]=i;   //保存结果
			b[i]=1;
			if (k==r) print();
			else search(k+1);
			b[i]=0;
		}
}
int print() {
	num++;
	for (int i=1; i<=r; i++)
		cout<<setw(3)<<a[i];
	cout<<endl;
}

【例3】

【题目】任何一个大于1的自然数n，总可以拆分成若干个小于n的自然数之和。
当n=7共14种拆分方法：
7=1+1+1+1+1+1+1
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+3
7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+4
7=1+1+2+3
7=1+1+5
7=1+2+2+2
7=1+2+4
7=1+3+3
7=1+6
7=2+2+3
7=2+5
7=3+4
total=14
【参考程序】

#include
#include
#include
using namespace std;
int a[10001]= {1},n,total;
int search(int,int);//在指定开始位置的数组中存储指定大小的数
int print(int);
int main() {
	cin>>n;
	search(n,1);
	//将要拆分的数n传递给s
	cout<<"total="<<total<<endl;
	//输出拆分的方案数
}
int search(int s,int t) {
	int i;
	for (i=a[t-1]; i<=s; i++)
		if (i<n)
//当前数i要大于等于前1位数，且不过n
		{
			a[t]=i;
//保存当前拆分的数i
			s-=i;
//s减去数i， s的值将继续拆分
			if (s==0) print(t);
//当s=0时，拆分结束输出结果
			else search(s,t+1);
//当s>0时，继续递归
			s+=i;
//回溯：加上拆分的数，以便产分所有可能的拆分
		}
}
int print(int t) {
	cout<<n<<"=";
	for (int i=1; i<=t-1; i++)
//输出一种拆分方案
		cout<<a[i]<<"+";
	cout<<a[t]<<endl;
	total++;
//方案数累加1
}

【例4】

【题目】八皇后问题：要在国际象棋棋盘中放八个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃。（提示：皇后能吃同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。）
放置第ｉ个(行)皇后的算法为：
int search(i)；
　{
　　 int j;
　　　for (第i个皇后的位置j=1;j<=8;j++ ) //在本行的8列中去试
　　　if (本行本列允许放置皇后)
　　　　{
　　　　　放置第i个皇后；
对放置皇后的位置进行标记；
　　　　　if (i==8) 输出 //已经放完个皇后
　　　　　　 else search(i+1)； //放置第i+1个皇后
　　　　　对放置皇后的位置释放标记，尝试下一个位置是否可行；
　　　　}
　}
【算法分析】
显然问题的关键在于如何判定某个皇后所在的行、列、斜线上是否有别的皇后；可以从矩阵的特点上找到规律，如果在同一行，则行号相同；如果在同一列上，则列号相同；如果同在／ 斜线上的行列值之和相同；如果同在＼ 斜线上的行列值之差相同；从下图可验证：

考虑每行有且仅有一个皇后，设一维数组Ａ[1…8]表示皇后的放置：第ｉ行皇后放在第ｊ列，用Ａ[i]＝j来表示，即下标是行数，内容是列数。例如：A[3]=5就表示第3个皇后在第3行第5列上。
判断皇后是否安全，即检查同一列、同一对角线是否已有皇后，建立标志数组ｂ[1…8]控制同一列只能有一个皇后，若两皇后在同一对角线上，则其行列坐标之和或行列坐标之差相等，故亦可建立标志数组ｃ[1…16]、ｄ[-7…7]控制同一对角线上只能有一个皇后。
如果斜线不分方向，则同一斜线上两皇后的行号之差的绝对值与列号之差的绝对值相同。在这种方式下，要表示两个皇后I和J不在同一列或斜线上的条件可以描述为：A[I]<>A[J] AND ABS(I-J)<>ABS(A[I]-A[J]){I和J分别表示两个皇后的行号}
【参考程序】

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
bool d[100]={0},b[100]={0},c[100]={0};
int sum=0,a[100];
int search(int);
int print();
int main()
{
   search(1);                                                          //从第1个皇后开始放置
}
int search(int i)
{
	int j;
	for (j=1;j<=8;j++)                                              //每个皇后都有8位置(列)可以试放
		if ((!b[j])&&(!c[i+j])&&(!d[i-j+7]))                   //寻找放置皇后的位置
		//由于C++不能操作负数组，因此考虑加7
		{                                                                  //放置皇后,建立相应标志值
			a[i]=j;                                                          //摆放皇后
			b[j]=1;                                                         //宣布占领第j列
			c[i+j]=1;                                                      //占领两个对角线
			d[i-j+7]=1;
			if (i==8) print();                                           //８个皇后都放置好,输出
			else search(i+1);                                      //继续递归放置下一个皇后
			b[j]=0;                                                        //递归返回即为回溯一步,当前皇后退出
			c[i+j]=0;
			d[i-j+7]=0;
		}
}
int print()
{
    int i;
    sum++;                                                        //方案数累加1
    cout<<"sum="<<sum<<endl;
    for (i=1;i<=8;i++)                                         //输出一种方案
		cout<<setw(4)<<a[i];
    cout<<endl; 
}

【例5】

马的遍历，中国象棋半张棋盘如图4（a）所示。马自左下角往右上角跳。今规定只许往右跳，不许往左跳。比如图4（a）中所示为一种跳行路线，并将所经路线打印出来。打印格式为：0,0->2,1->3,3->1,4->3,5->2,7->4,8…

【算法分析】
如图4（b）,马最多有四个方向，若原来的横坐标为j、纵坐标为i,则四个方向的移动可表示为：
1: （i,j）→（i+2,j+1）； (i<3,j<8)
2: （i,j）→（i+1,j+2）； (i<4,j<7)
3: （i,j）→（i-1,j+2）； (i>0,j<7)
4: （i,j）→（i-2,j+1）； (i>1,j<8)
搜索策略：
S1:Ａ[１]:=(0,0);
S2:从Ａ[1]出发，按移动规则依次选定某个方向，如果达到的是（4,8）则转向S3,否则继续搜索下一个到达的顶点；
S3:打印路径。

#include
#include
#include
using namespace std;
int a[100][100],t=0;                 //路径总数和路径
int x[4]={2,1,-1,-2},                 //四种移动规则
y[4]={1,2,2,1};
int search(int);                       //搜索 
int print(int);                           //打印
int main()                               //主程序
{
	a[1][1]=0;a[1][2]=0;             //从坐标(0,0)开始往右跳第二步
	search(2); 
};         
int search(int i)
{
	for (int j=0;j<=3;j++)                                  //往4个方向跳
	if (a[i-1][1]+x[j]>=0&&a[i-1][1]+x[j]<=4
		&&a[i-1][2]+y[j]>=0&&a[i-1][2]+y[j]<=8) //判断马不越界
	{
		a[i][1]=a[i-1][1]+x[j];                              //保存当前马的位置
		a[i][2]=a[i-1][2]+y[j];
		if(a[i][1]==4&&a[i][2]==8) print(i);
		else search(i+1);    //搜索下一步
	}
}
int print(int ii)
{
	t++;
	cout<<t<<":  ";
	for(int i=1;i<=ii-1;i++)
		cout<<a[i][1]<<","<<a[i][2]<<"-->";
	cout<<"4,8"<<endl;
}