【总结】LCT算法的基础建模与应用

前言：

在恶心了几道LCT算法的题后，勉强领悟到一点LCT的用处
作为一个比较经典的数据结构，LCT的应用范围比较广泛，比如动态维护最小生成树，动态维护双联通分量，以及其它的一些动态路径询问的问题。尽管在子树问题上，LCT算法显得有些无力（出门左转找ET），但毕竟很多子树问题可以用DFN+Splay水过，但路径询问，却几乎找不到可以替代LCT的算法。

基本概念：

LCT算法，其实就本质而言，是一个十分暴力却优美的算法。优美在于，它基于一个神奇的树上算法：树链剖分。暴力在于，它的实现过程异常简单，只是用Access与Splay两个函数，就可以完成几乎所有操作。
树链剖分是LCT的理论基础，常规的树链剖分可以在 O(Nlog2N) O ( N l o g 2 N ) 复杂度内处理大多数路径、子树问题（但有时离线的点分治却能比它更优秀）。

树链剖分是预处理出来的，也就是说它不能支持对树的结构有修改的问题。而LCT就是用于解决这一漏洞的。

由于树的形态有变化，所以重边和轻边的关系要动态存储，在每一条重链上，都用一个Splay平衡树来维护这条链上的信息，而Access操作，是将该点与根的连线变为一条重链。具体的原理与时间复杂度的证明，这里不再赘述。

典型建模与应用：

首先，最常见也最简单的应用，是直接用懒标记来存储一些需要的信息。当然，有的这类题也可以把人恶心出病来，但绝大多数这类题目都属于不用太多思考就能过的。比如模板题Qtree系列，基本上都是这类题。

有点难度的，比如BZOJ3091城市旅行，
这道题需要4个懒标记互相配合修改：（以下有剧透成分）
由于题目要记录“路径任意选择两个点的期望”，所以很显然要统计所有方案总数，于是一个懒标记存储 n∗1∗a1+(n−1)∗2∗a2+……1∗n∗an n ∗ 1 ∗ a 1 + ( n − 1 ) ∗ 2 ∗ a 2 + … … 1 ∗ n ∗ a n
为了维护这个值，还要记录 1∗a1+2∗a2+3∗a3+……+n∗an 1 ∗ a 1 + 2 ∗ a 2 + 3 ∗ a 3 + … … + n ∗ a n ，以及 n∗a1+(n−1)∗a2+……+an n ∗ a 1 + ( n − 1 ) ∗ a 2 + … … + a n 具体做法与证明可以参考
PoPoQQQ大爷的博客

但稍微拓展一点，可以将LCT与其他一些比较常规的算法结合起来，以达到使那些经典算法“动”起来的目的。

最简单的：

LCT与最小生成树

考虑最小生成树的算法中，其实也有能够动态的算法：破圈算法，具体做法很简单，每次插入一个边后，如果其连接的两个点没有联通，则直接连上这条边，如果已经联通，则这两个点之间必有一条路径，将当前的边连上就会形成一个环，再删去这个环中最大的一条边即可。

LCT维护动态最小生成树，其实就是破圈算法的高效版，考虑破圈算法的劣势：由于其不能有效存储路径上的最大权边，所以导致每次删边都要将环上的边跑一次。对于LCT而言，这个限制是不存在的（如果不会动态维护路径最大值，请回上一部分）。只需要在懒标记中存储最大值，以及最大值所在的位置即可。

例题：BZOJ2594水管局长数据加强版
BZOJ3514Codechef MARCH14 GERALD07加强版，稍微有些变化，不过本质上还是需要LCT动态维护生成树。
BZOJ3669魔法森林相对于上一题而言，更考思维一些。

LCT与动态双联通分量（仅支持加边）

其实，看过LCT做动态最小生成树之后，很容易就能猜到这部分的方法。
同样的，我们维护的仍然只是一棵树，每次加入一条边，仍然和之前一样，未联通则联通，若已联通，则将这个环上所有点缩成一个点，这一个操作可以用LCT套并查集来实现，即在初始的变量中，加入一个新的参数表示其属于哪一个双联通分量内，每次Access操作时，必须更新其父亲（以使得不重复访问已被覆盖的点）。
缩点的操作，可以暴力来做（每个点只被缩一次）。

void change(node *x,node *y){//x即当前节点，y是代表当前强联通分量的点
    if(x!=y)
        x->xfa=y;
    if(x->ch[0]!=NIL)
        change(x->ch[0],y);
    if(x->ch[1]!=NIL)
        change(x->ch[1],y);
}

典型的题是BZOJ2959长跑

其他的LCT应用

说道这几天刷的LCT题，有一道实在恶心：BZOJ2759一个动态树好题
但也不得不承认，这的确是道好题，也拓宽了我对图论算法的认知（原来LCT也能解决数论问题）
这道题的最好的地方，在于它有效解决了LCT仅局限于懒标记修改的弊病。（以下有剧透成分）
在LCT上每个点表示一个变量，将p[i]设为i的父亲，整个图就形成了一个基环森林，将环的一条边断掉，断边的一个点作为根，另一个点作为特殊节点（称为 sfa s f a ），维护每个节点与该节点的线性关系（实现时，维护的是与该重链最左端的线性关系）。求解时，先用exgcd得到sfa的值，再将其带入之前存的线性关系中用exgcd求解。具体过程比较复杂，建议查本题的题解。

这一类应用可以说是比较恶心，也比较少见的一类题目。

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总的来说，凡是做LCT的题目，不能直接先想用LCT怎么做，怎么打懒标记。而是应该从别的角度出发，得到一个需要LCT来维护的算法，再用LCT来优化。