【莫队算法】总结&CF940F Machine Learning
题意：
给出一个长度为N序列（为什么D、E、F都是序列）
需要支持两种操作：
1、定义一个区间的值为：这段区间任意元素出现次数的集合的mex，给出l,r求原串中[l,r]这段区间的值
2、修改某个点的值
对mex的定义与SG函数中是相同的，表示一个自然数集中未出现的最小的整数。
例如： 1 、 3 、 2 、 1 、 2 、 2 、 2 1、3、2、1、2、2、2 1、3、2、1、2、2、2这个序列的值为3：
3出现了1次，1出现了2次，2出现了4次，集合中的数为 0 , 1 , 2 , 4 0,1,2,4 0,1,2,4（所有除了这三个数以外的 [ 0 ， 1 0 9 ] [0，10^9] [0，109]的数均未出现，所以为0）
N ， M （ 操 作 次 数 ） ≤ 1 0 5 N，M（操作次数）≤10^5 N，M（操作次数）≤105
时限：4s
分析：
很直观的带修改的莫队算法题（我居然没学过就猜中了）
因为只学过普通的莫队算法，而且还是16年准备省选的时候学的，早就忘的差不多了，于是又回去补了补，现在重新写一个总结，以免以后再忘。
莫队算法：
莫队算法被称为区间问题的神器，但这神器的限制其实也颇多：必须离线操作，不支持区间修改，不支持无法在 O ( 1 ) O(1) O(1)或近似的复杂度内，将区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]的答案通过加入一个值/删去一个值以得到 [ l − 1 , r ] [l-1,r] [l−1,r], [ l , r − 1 ] [l,r-1] [l,r−1], [ l + 1 , r ] [l+1,r] [l+1,r], [ l , r + 1 ] [l,r+1] [l,r+1]的答案的算法。并且，其复杂度为 ( N + M ) ∗ N (N+M)*\sqrt N (N+M)∗N，所以当 N ≥ 1 0 6 N≥10^6 N≥106时，莫队算法就有TLE的可能。
说了那么多缺点，那么接下来就该大吹特吹了：
其优点是代码简单，考场上实用性强，是许多区间问题中bug级的存在，令出题人焦头烂额（谁也不想自己琢磨了半天搞出来的区间题，被人用莫队水过去）
先说说不带修改的莫队算法：
首先，莫队算法是基于分块进行的，将原串拆分为 N \sqrt N N个块，每个块的大小自然也是 N \sqrt N N级的，现在我们将所有询问，按照其左端点所在的块排序，左端在相同块中的，按照右端点排序。
假设当前已经得到了 [ L i , R i ] [L_i,R_i] [Li,Ri]的答案，我们通过依次插入和删除的方式，来得到 [ L i + 1 , R i + 1 ] [L_{i+1},R_{i+1}] [Li+1,Ri+1]
这看似十分暴力的算法，实则是有严格的复杂度证明的。
我们从 L L L与 R R R的偏移量来计算其复杂度：
首先是 L L L的偏移量：因为我们总共需要处理M个询问，每两个相邻的询问之间，若 L L L在同一个块中，那么其偏移量为 N \sqrt N N，若不在同一个块中，其偏移量为 2 N 2\sqrt N 2N，所以 L L L的复杂度为 M N M\sqrt N MN
然后是 R R R的偏移量：其实只要稍加分析就会发现，对于同一个块中， R R R是升序排列的，所以每个块的 R R R的偏移量均为 N N N，总计 N \sqrt N N个块，所以 R R R的偏移量为 N N N\sqrt N NN
所以，莫队算法的复杂度就可以得到了： ( M + N ) N (M+N)\sqrt N (M+N)N
模板题：BZOJ2038小Z的袜子
#include带修改的莫队算法（仅支持单点修改）
其实带修改的莫队算法本质并没有改变：
唯一的区别在于：我们分的块的大小不能是 N 0.5 N^{0.5} N0.5了，每个块的大小均为 N 2 3 N^{\frac 2 3} N32
这样一来，总的块的数量为 N 1 3 N^{\frac 1 3} N31
设 T i T_i Ti为该询问时已经做的修改次数
我们只需要以 L L L所在的块为最优先， R R R所在的块为第二优先， T T T为第三优先来将询问排序，在依次插入和删除新元素时，同时也处理 T T T（同样是依次修改）即可：
while(l>q[i].l） Add(a[--l]);
while(r<q[i].r) Add(a[++r]);
while(l<q[i].l） Delet(a[l++]);
while(r>q[i].r) Delet(a[r--]);
while(now<q[i].x) work(++now,i);
while(now>q[i].x) dework(now--,i);
时间复杂度的证明与不修改是类似的。
对于 L L L与 R R R的偏移量，是与询问次数M是相关的，每两次相邻询问之间， L L L的偏移量在 N 2 3 N^{\frac 2 3} N32数量级， R R R有 N 1 3 N^{\frac 1 3} N31次询问有可能会偏移 N N N，其余的询问偏移量同样也是 N 2 3 N^{\frac 2 3} N32数量级的。所以 L L L与 R R R的复杂度均为 O ( N 5 3 ) O(N^{\frac 5 3}) O(N35)（假设M与N为同一数量级）
对于 T T T的偏移量，与不修改中的 R R R偏移量类似，同样是：前两个维度所有可能情况*N
刚才已经说明了，块的数量为 N 1 3 N^{\frac 1 3} N31个，所以 L , R L,R L,R分别有 N 1 3 N^{\frac 1 3} N31种情况，其总的可能情况根据乘法原理为 N 2 3 N^{\frac 2 3} N32种，所以 T T T的复杂度同样也为 O ( N 5 3 ) O(N^{\frac 5 3}) O(N35)
提供一个小技巧：因为计算机算 N 2 3 N^{\frac 2 3} N32不方便计算，所以通常我们都是手算出 N N N的最大情况下的 N 2 3 N^{\frac 2 3} N32，将其作为一个常数直接赋值给块的大小即可。
模板题CF940F（可能这道题当模板有些不友好，所以附了题解）
题解：其实就是一个小技巧，我们可以将序列中的数字离散化，这里的离散化很简单，因为不用考虑大小关系，只需考虑是否相同即可，所以用一个map存储就能实现。
离散化之后，所有可能出现的值的个数就缩小到了 1 0 5 10^5 105级别，那么我们可以用一个数组存储每个数出现的次数即可，再用一个数组存储每个数出现次数的出现次数（有点抽象，看看代码可能有帮助）。
很容易发现，我们的答案一定是小于1000，所以我们暴力算这个值都没问题。
#include树上莫队
//这年头，什么都流行上树，像什么母猪，HJB上树都不新鲜了，所以我们的莫队算法也要上树
其实树上莫队只是借助了DFS序列（括号序列，每个元素出现两次，设靠前的一次为 f i r [ x ] fir[x] fir[x]，靠后的一次为 l a s [ i ] las[i] las[i]）而已
总所周知，DFN是个神奇的工具，能够将树形结构压缩成一个一维的数组。
莫队算法作为区间问题的神器，不能直接在树上搞，所以就只能在DFN上进行操作
比较简单的是询问子树信息(DFN序)，对于每次询问的点x，我们更改为：
L = f i r [ x ] , R = l a s [ i ] L=fir[x],R=las[i] L=fir[x],R=las[i]
所以我们就将问题转化为求DFN中 [ L , R ] [L,R] [L,R]这个区间了
比较恶心一点的是求路径信息(括号序列)，对于每次询问的两个点 ( u , v ) (u,v) (u,v)：
如果一点是另一点的祖先(设：u为v的祖先）
L = l a s [ v ] , R = l a s [ u ] L=las[v],R=las[u] L=las[v],R=las[u]
如果两点之间没有直接的祖先关系(设u在DFN序列中比v更靠前出现)：
L = l a s [ u ] , R = f i r [ v ] L=las[u],R=fir[v] L=las[u],R=fir[v]
但这种情况很容易发现它们的lca没有出现在这个区间内，所以再加入lca即可。
当然还有带修改的树上莫队（笑），其做法就是：树上莫队+带修改莫队即可
不带修改模板题：COT2
#include带修改模板题：糖果公园
#include