二部图判定算法——染色法

什么是二部图？

二部图又称作二分图或偶图，是图论中的一种特殊模型。
设G = (V , E)是一个无向图，若顶点集V可以分割成两个互不相交的子集U和V，并且图G中的任意一条边(i , j)所关联的两个顶点 i 和 j 分别属于这两个不同的顶点集，即(i in U , j in V)，则称图G为一个二部图。

什么是染色法？

染色法所做的工作是：对于任意图G，利用红、蓝两种颜色（或其它任意两种不同颜色）对其顶点进行染色，依据染色的结果来判断图G是否为二部图。

算法初始化条件

对于待判断的图G，设顶点集合V = V(G)，已染色顶点集合C = 空集，已扫描顶点集合S = 空集。

算法步骤及流程

1. 从V\C（未染色顶点集合）中任取一个未染色的顶点，染成红色，并入已染色顶点集合C中；
2. 判断：已扫描顶点集合S==顶点集合V？是，则算法结束，图G是二部图；不是（S < V），则转向3.；
3. 判断：已扫描顶点集合S==已染色顶点集合C？是（S = C < V），则转向1.；不是（S < C < V），则转向4.；
4. 从C\S（已染色但未扫描顶点集合）中任取一个顶点w，扫描图G中与w相临的所有顶点：
   1. 如果顶点未染色，则染上与w相异的颜色，并入已染色顶点集合C中；
   2. 如果顶点染有与w相异的颜色，则不做改变继续扫描其它顶点；
   3. 如果顶点染有与w相同的颜色，则算法结束，图G不是二部图。
      每个顶点扫描完成后都并入已扫描顶点集合S中，最后全部扫描完成后转向2.。
      

算法复杂度

算法的复杂度为O(n^2)。