ARIMA模型（一）定义与介绍

了解ARIMA模型，就需要先了解数据的一个平稳性。

1. 平稳性：

• 平稳性就是要求经由样本时间序列所得到的拟合曲线，在未来的一段时间内仍能顺着现有状态“惯性”地延续下去；
• 平稳性要求序列的均值和方差不发生明显变化；

        方差越大，数据波动越大，方差计算公式如下式所示：

       

       方差等于1，那么标准差也就是1，表示概率函数在对称轴左右偏差1的位置导数为0，即为拐点。期望为0，表示概率函数以y轴为对称轴。

平稳性分为严平稳和弱平稳

• 严平稳：严平稳表示的分布不随时间的改变而改变，如：白噪声（正态），无论怎么取，都是期望为0，方差为1；
• 弱平稳：期望与相关系数（依赖性）不变，未来某时刻的t值Xt就要依赖于它的过去信息，所以需要依赖性；

那么如果我们拿到的数据波动很大，那么需要平稳这个数据，如何平稳这个数据呢？

2. 差分法：时间序列在t与t-1时刻的差值

                                     

             差分法：(t5-t4)，(t4-t3)，(t3-t2)，(t2-t1)，在一阶差分后就可以得到二阶差分。

明白了平稳数据方法，于是下面介绍几个定义：

3. 自回归模型（AR）

• 描述当前值与历史值之间的关系，用变量自身的历史时间数据对自身进行预测
• 自回归模型必须满足平稳性的要求
• p阶自回归过程的公式定义：
• 是当前值，是常数项，P是阶数（需要我们自己指定），是自相关系数，是误差

3.1 自回归模型（AR）的限制

• 自回归模型是用自身的数据来进行预测
• 必须具有平稳性
• 必须具有自相关性，如果自相关系数小于0.5，则不宜采用
• 自回归只适用于预测与自身前期相关的现象

4. 移动平均模型（MA）

• 移动平均模型关注的是自回归模型中误差项的累加
• q阶自回归过程的公式定义：
• 移动平均法能有效消除预测中的随机波动

5. 自回归移动平均模型（ARMA）

        自回归与移动平均结合，公式定义如下，由下述公式我们可以得到，当拿到ARMA模型时，我们仅需要指定三个参数（p,d,q），d是阶数，d=1即为一阶差分，d=2为二阶差分，以此类推。

                                              

6. 差分自回归移动平均模型

        ARIMA (p, d, q)模型全称为差分自回归移动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，简记ARIMA）。

        AR是自回归，p为自回归项；MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。

         原理：将非平稳时间序列转换为平稳时间序列。然后将因变量仅对它滞后值（阶数）以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。

6.1 自相关函数ACF(autocorrelation function)

        相关性：有序的随机变量序列与其自身相比较，自相关函数反映了自身数据在同一序列在不同时序之间的相关性。

         公式：

                             

        普通的相关性是，如左图，是一个正相关概念，右图是一个负相关概念，那自相关函数说的是什么呢？

                      

        自相关函数ACF(k) = Pk的取值范围为[-1,1]，这个取值范围的定义如下，-1为负相关，+1为正相关，0为无相关性。如下图，是一个阶数与自相关函数ACF之间的关系：

                    

        我们一般会取95%的置信区间，意思如下，也就是100个点有95%个点是落在我们的区间里面，这就是95%的置信区间。

6.2 偏自相关函数(PACF)(partial autocorrelation function)

        对于一个平稳AR(p)模型，求出滞后k自相关系数p(k)时实际上得到的并不是x(t)与x(t-k)之间单纯的相关关系：

• x(t)同时还会受到中间k-1个随机变量x(t-1)、x(t-2)、......、x(t-k+1)的影响，而这k-1个随机变量又都和x(t-k)具有相关关系，所以自相关系数p(k)里实际掺杂了其他变量对x(t)与x(t-k)的影响；
• ACF还包含了其他变量的影响，而偏自相关系数PACF是严格这两个变量之间的相关性；

6.3 ARIMA建模流程

1. 将序列平稳（差分法确定d）
2. p和q阶数确定：ACF与PACF
3. ARIMA（p,d,q）

模型	ACF	PACF
AR（p）	衰减趋于零（几何型或振荡型）	p阶后截尾
MA（q）	q阶后结尾	衰减趋于零（几何型或振荡型）
ARMA（p,q）	q阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）	p阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）

       截尾：落在置信区间内（95%的点都符合该规则）

6.4 模型参数选择

      模型选择AIC与BIC：选择更简单的模型

AIC：赤池信息准则（Akaike Information Criterion，AIC）

                                    

BIC：贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion，BIC）

                                    

       k为模型参数个数，n为样本数量，L为似然函数

6.5 模型残差检验

• ARIMA模型的残差是否是平均值为0且方差为常熟的正态分布
• QQ图：线性即正态分布