k-d tree算法原理及实现
k-d tree即k-dimensional tree，常用来作空间划分及近邻搜索，是二叉空间划分树的一个特例。通常，对于维度为k，数据点数为N的数据集，k-d tree适用于N≫2k的情形。
1）k-d tree算法原理
k-d tree是每个节点均为k维数值点的二叉树，其上的每个节点代表一个超平面，该超平面垂直于当前划分维度的坐标轴，并在该维度上将空间划分为两部分，一部分在其左子树，另一部分在其右子树。即若当前节点的划分维度为d，其左子树上所有点在d维的坐标值均小于当前值，右子树上所有点在d维的坐标值均大于等于当前值，本定义对其任意子节点均成立。
1.1）树的构建
一个平衡的k-d tree，其所有叶子节点到根节点的距离近似相等。但一个平衡的k-d tree对最近邻搜索、空间搜索等应用场景并非是最优的。
常规的k-d tree的构建过程为：循环依序取数据点的各维度来作为切分维度，取数据点在该维度的中值作为切分超平面，将中值左侧的数据点挂在其左子树，将中值右侧的数据点挂在其右子树。递归处理其子树，直至所有数据点挂载完毕。
a）切分维度选择优化
构建开始前，对比数据点在各维度的分布情况，数据点在某一维度坐标值的方差越大分布越分散，方差越小分布越集中。从方差大的维度开始切分可以取得很好的切分效果及平衡性。
b）中值选择优化
第一种，算法开始前，对原始数据点在所有维度进行一次排序，存储下来，然后在后续的中值选择中，无须每次都对其子集进行排序，提升了性能。
第二种，从原始数据点中随机选择固定数目的点，然后对其进行排序，每次从这些样本点中取中值，来作为分割超平面。该方式在实践中被证明可以取得很好性能及很好的平衡性。
本文采用常规的构建方式，以二维平面点(x,y)的集合(2,3)，(5,4)，(9,6)，(4,7)，(8,1)，(7,2)为例结合下图来说明k-d tree的构建过程。
a）构建根节点时，此时的切分维度为x，如上点集合在x维从小到大排序为(2,3)，(4,7)，(5,4)，(7,2)，(8,1)，(9,6)；其中值为(7,2)。（注：2,4,5,7,8,9在数学中的中值为(5 + 7)/2=6，但因该算法的中值需在点集合之内，所以本文中值计算用的是len(points)//2=3, points[3]=(7,2)）
b）(2,3)，(4,7)，(5,4)挂在(7,2)节点的左子树，(8,1)，(9,6)挂在(7,2)节点的右子树。
c）构建(7,2)节点的左子树时，点集合(2,3)，(4,7)，(5,4)此时的切分维度为y，中值为(5,4)作为分割平面，(2,3)挂在其左子树，(4,7)挂在其右子树。
d）构建(7,2)节点的右子树时，点集合(8,1)，(9,6)此时的切分维度也为y，中值为(9,6)作为分割平面，(8,1)挂在其左子树。至此k-d tree构建完成。
上述的构建过程结合下图可以看出，构建一个k-d tree即是将一个二维平面逐步划分的过程。
我们还可以结合下图（该图引自维基百科），从三维空间来看一下k-d tree的构建及空间划分过程。首先，边框为红色的竖直平面将整个空间划分为两部分，此两部分又分别被边框为绿色的水平平面划分为上下两部分。最后此4个子空间又分别被边框为蓝色的竖直平面分割为两部分，变为8个子空间，此8个子空间即为叶子节点。
2）最近邻搜索
给定点p，查询数据集中与其距离最近点的过程即为最近邻搜索。
如在上文构建好的k-d tree上搜索(3,5)的最近邻时，本文结合如下左右两图对二维空间的最近邻搜索过程作分析。
a）首先从根节点(7,2)出发，将当前最近邻设为(7,2)，对该k-d tree作深度优先遍历。以(3,5)为圆心，其到(7,2)的距离为半径画圆（多维空间为超球面），可以看出(8,1)右侧的区域与该圆不相交，所以(8,1)的右子树全部忽略。
b）接着走到(7,2)左子树根节点(5,4)，与原最近邻对比距离后，更新当前最近邻为(5,4)。以(3,5)为圆心，其到(5,4)的距离为半径画圆，发现(7,2)右侧的区域与该圆不相交，忽略该侧所有节点，这样(7,2)的整个右子树被标记为已忽略。
c）遍历完(5,4)的左右叶子节点，发现与当前最优距离相等，不更新最近邻。所以(3,5)的最近邻为(5,4)。
3）复杂度分析
| 操作 | 平均复杂度 | 最坏复杂度 |
| 新增节点 | O(logn) | O(n) |
| 删除节点 | O(logn) | O(n) |
| 最近邻搜索 | O(logn) | O(n) |
4）scikit-learn使用
scikit-learn是一个实用的机器学习类库，其有KDTree的实现。如下例子为直观展示，仅构建了一个二维空间的k-d tree，然后对其作k近邻搜索及指定半径的范围搜索。多维空间的检索，调用方式与此例相差无多。
# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from matplotlib.patches import Circle
from sklearn.neighbors import KDTree
np.random.seed(0)
points = np.random.random((100, 2))
tree = KDTree(points)
point = points[0]
# kNN
dists, indices = tree.query([point], k=3)
print(dists, indices)
# query radius
indices = tree.query_radius([point], r=0.2)
print(indices)