第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题四参考解答

设 $a>1$, $f:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$ 可微. 求证: 存在趋于 $+\infty$ 的正数列 $\sed{x_n}$, 使得 $f'(x_n)<f(ax_n),\ n=1,2,\cdots$.

证明: 本题即要证 $$\bex \forall\ n\in\bbZ^+,\ \exists\ x_n\geq n,\st f'(x_n)<f(ax_n). \eex$$ 用反证法. 若 $$\bex \exists\ N\in\bbZ^+,\ \forall\ x\geq N,\mbox{ 有 }f'(x)\geq f(ax). \eex$$ 则选取 $c\gg 1$ 使得 $$\bex c\geq N\mbox{ 且 }a>\frac{1+c}{c}, \eex$$ 而对 $f'(x)\geq f(ax)$ 在 $c$ 到 $ac$ 上积分有\footnote{$f$ 单增.} $$\beex \bea &\quad f(ac)-f(c)\geq \int_c^{ac}f(ax)\rd x \geq f(ac)(ac-c)\\ &\ra -f(c)\geq f(ac)(ac-c-1)\\ &\ra f(ac)\leq\frac{-f(c)}{c\sex{a-\frac{1+c}{c}}}<0. \eea \eeex$$ 这是一个矛盾. 故有结论.