第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题五参考解答

设 $f:[-1,1\to\bbR$ 为偶函数, $f$ 在 $[0,1]$ 上是增函数; 又设 $g$ 是 $[-1,1]$ 上的凸函数, 即 $$\bex g(tx+(1-t)y)\leq tg(x)+(1-t)g(y),\quad \forall\ x,y\in [0,1],\quad \forall\ t\in [0,1]. \eex$$ 试证: $$\bex 2\int_{-1}^1 f(x)g(x)\rd x \geq \int_{-1}^1 f(x)\rd x\cdot \int_{-1}^1 g(x)\rd x. \eex$$

证明: (1) 若 $f,h$ 为 $[0,1]$ 上的增 (或减) 函数, 则 $$\bex \int_0^1f(x)h(x)\rd x \geq \int_0^1 f(x)\rd x\cdot \int_0^1 h(x)\rd x. \eex$$ 事实上, $$\beex \bea &\quad [f(x)-f(y)]\cdot [h(x)-h(y)]\geq 0\\ &\ra f(x)h(x)+f(y)h(y)\geq f(x)h(y)+f(y)h(x)\\ &\ra\mbox{对 }x,y\mbox{ 在 }[0,1]\mbox{ 上积分即可}. \eea \eeex$$ (2) $$\bex g\mbox{ 在 }[0,1]\mbox{ 上是凸函数}\ra h(x)=g(x)+g(-x)\mbox{ 在 }[0,1]\mbox{ 上是增函数}. \eex$$ 事实上, $$\beex \bea 0\leq y<x\leq 1 &\ra \sedd{\ba{ll} y=(1-\theta)\cdot (-x)+\theta \cdot x\\ -y=\theta\cdot (-x)+(1-\theta)\cdot x \ea}\\ &\ra \sedd{\ba{ll} g(y)\leq (1-\theta)g(-x)+\theta g(x)\\ g(-y)\le \theta g(-x)+(1-\theta)g(x) \ea}\\ &\ra h(y)=g(y)+g(-y)\leq g(-x)+g(x)=h(x). \eea \eeex$$ (3) 往证题目. 由 (1), (2) 知 $$\bex \int_0^1 f(x)[g(x)+g(-x)]\rd x\geq \int_0^1 f(x)\rd x \cdot \int_0^1 [g(x)+g(-x)]\rd x, \eex$$ 此即 $$\bex \int_{-1}^1 f(x)g(x)\rd x \geq \frac{1}{2}\int_{-1}^1 f(x)\rd x\cdot \int_{-1}^1 g(x)\rd x. \eex$$