已知 $AB$, 求 $BA$

设 $A,B$ 分别是 $3\times 2$ 和 $2\times 3$ 实矩阵. 若 $\dps{AB=\sex{\ba{ccc}  8&0&-4\\  -\frac{3}{2}&9&-6\\  -2&0&1  \ea}}$, 求 $BA$.    

 

解答: 由  $$\bex  AB\rra\sex{\ba{ccc}  1&0&-\frac{1}{2}\\\  0&1&-\frac{3}{4}\\  0&0&0  \ea}  \eex$$  知 $\rank(AB)=2,$ 而  $$\bex  \rank(A)=\rank(B)=2.  \eex$$  于是对 $A$ 施行变换 (左乘 $2\times 3$ 矩阵), 对 $B$ 施行列变换 (右乘 $2\times 3$ 矩阵),  $$\bex  \exists\ X_{2\times 3},\ Y_{3\times 2},\st XA=E_2=BY.  \eex$$  如此,  $$\beex  \bea  BA&=(XA)(BA)(BY)\\  &=X(AB)^2Y\\  &=X(9AB)Y\quad\sex{\mbox{直接计算}}\\  &=9(XA)(BY)\\  &=9E_2.  \eea  \eeex$$