紧算子的强极限

设 $\sed{T_n}$ 是 Banach 空间 $X$ 上的紧算子列且强收敛于线性算子 $T$, 试举例说明 $T$ 未必是紧算子.

 

解答:  取 $$\bex X=\ell^1=\sed{x=(x_n)_{k=1}^\infty;\ \sen{x}=\sum_{k=1}^\infty|x_k|<\infty}, \eex$$ $$\bex \ba{cccc} T_n:&X&\to&X\\ &x=(x_k)_{k=1}^\infty&\mapsto&(x_1,\cdots,x_n,0,\cdots), \ea \eex$$ 则

(1) 由 $\bbR^n$ 中 Bolzano-Weierstrass 聚点定理知 $\sed{T_n}$ 是紧算子列.

(2) 由\footnote{     $$\bex     \sen{T_nx-x}=\sum_{k=n+1}^\infty|x_k|\to0\quad\sex{n\to\infty}.     \eex$$}     $$\bex     \lim_{n\to\infty}T_nx=\lim_{n\to\infty}(x_1,\cdots,x_n,0,\cdots)=x,     \quad\sex{\forall\ x\in \ell^1}     \eex$$     知 $\sed{T_n}$ 强收敛于 $\ell^1$ 中的单位算子. 而 $\ell^1$ 中的单位算子不是紧的\footnote{由 P56 定理 2.4.3.}.