泛函的延拓

设 $M$ 是 Hilbert 空间 $H$ 的线性子空间. $T$ 是 $M$ 上的有界线性算子. 证明在 $H$ 上存在一个有界线性算子 $\tilde T$, 使得在 $M$ 上 $\tilde T$ 与 $T$ 相等并且 $\sen{\tilde T}\leq \sen{T}$.

 

证明:  作 $M$ 的闭包 $\bar M$ 的正交补 $\bar M^\perp$, 并定义\footnote{ $\tilde T$ 在 $\bar M\bs M$ 上是良定义的: 设 $$\bex M\ni x_n\to x_0,\quad M\ni y_n\to x_0, \eex$$ 则有 $$\bex ||Tx_n-Tx_m||\leq ||T||\cdot ||x_n-x_m||,\quad ||Tx_n-Ty_n||\leq ||T||\cdot ||x_n-y_n|| \eex$$ 知 $\sed{T_n}$ 极限存在, 且极限值不依赖于所选取的逼近序列.} $$\bex \tilde T(x)=\left\{\ba{ll} Tx,&x\in M,\\ \lim Tx_n,&x\in \bar M\bs M,\\ 0,&x\in \bar M^\perp. \ea\right. \eex$$ 如此, $$\beex \bea \sen{\tilde Tx} &=\sen{\tilde T(y+z)}\quad\sex{y\in \bar M,\ z\in \bar M^\perp,\mbox{ 由正交分解}}\\ &=\sen{\tilde Ty}\\ &=\sen{Ty}\\ &\leq\sen{T}_M\sen{y}\\ &\leq \sen{T}_M\sen{x}\quad\sex{\forall\ x\in H}. \eea \eeex$$