[物理学与PDEs]第1章习题9 磁偶极矩的极限矢势

设在发现为 ${\bf n}$ 的平面上, 有一电流强度为 $I$ 的环形电流, 其方向与 ${\bf n}$ 成右手系. 又设该环形电流所围的面积为 $S_0$, 则 $$\bex {\bf m}=IS_0{\bf n} \eex$$ 称为该环形电流的磁偶极矩. 试证明: 当 $S_0\to0$ (环收缩到一点), $I\to+\infty$, 但 ${\bf n}$ 和 $m=IS_0$ 保持不变时, 由该磁偶极矩产生的磁场的矢势为 $$\bex {\bf A}(P)=-\cfrac{\mu_0}{4\pi}{\bf m}\times \n_P\cfrac{1}{r_{OP}}, \eex$$ 其中 $\n_P$ 表示对 $P$ 点的梯度.

 

证明: 由 (8. 51), $$\beex \bea {\bf A}(P)&=\lim \cfrac{\mu_0}{4\pi}\int_\Omega \cfrac{{\bf j}(P')}{r_{P'P}}\rd V_{P'}\\ &=\lim \cfrac{\mu_0}{4\pi} \int_l \cfrac{{\bf j}(P')}{r_{P'P}}\rd l\quad \sex{l:\mbox{ 环形}}\\ &=\lim \cfrac{\mu_0I}{4\pi}\int_l \cfrac{\rd {\bf l}}{r_{P'P}}\\ &=\lim \cfrac{\mu_0I}{4\pi}\int_{S_0} {\bf n}\rd S\times \n_{P'}\cfrac{1}{r_{P'P}}\quad\sex{\mbox{Stokes 公式}}\\ &=\cfrac{\mu_0I}{4\pi}\int_{S_0} {\bf n}\rd S\times \n_O\cfrac{1}{r_{OP}}\\ &=-\cfrac{\mu_0IS_0}{4\pi}{\bf n}\times \n_P\cfrac{1}{r_{OP}}\\ &=-\cfrac{\mu_0}{4\pi}{\bf m}\times \n_P\cfrac{1}{r_{OP}}. \eea \eeex$$