铺砖问题的一个证明

有一个16x16的正方形地面，去除主对角线上两个顶点的各1x1的地面之外，能否用127块1x2的砖完整地铺下来，而不会打破任何一块砖。
首先，这块地面一共有256平方，扣除对角线顶点上的两个平方，一共254平方，面积等于127块1x2的砖的面积总和，理论上如果砖可以切割成1x1的小块，就一定可以铺满地面。但是，如果不切开任何一块砖，是否可以呢？
答案是不行。这里，我们需要构造某种由部分的某种特征构成的不变量，从而构造矛盾。那么这个不变量是什么呢？
先做一些观察。首先，这块地面如果能用1x2的砖铺满，那么就一定可以将这个地面划分成256个1x1的小格，而每块砖恰好占有两个小格。
其次，可以看每一行和每一列小格。由于第一行和最后一行分别有15个小格，其余行分别由16个小格。那么横着放的砖占据2个相邻的小格，而竖着放的砖占据1个小格。因此第一行和最后一行必然是奇数个竖着放的砖，其余行都是偶数个竖着放的砖。由对称性，相应的结论对于列也成立。因此，竖着放的总次数为4k，k为奇数。
然后，每块砖只能是横着放或竖着放，因此按照竖着被计数的次数为127x2。
由于4k不可能等于127x2，因此不可能在不切割砖的情况下，铺满整个地面。

这如果组成整体的各个部分具有某些特征，那么可以决定整体的某些特征，比如这里的2x1的砖，不可能在不切开的情况下组成128x128缺少对角线上两个角的方形区域。