Brave Balloonists

题目来自:http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1049

 

题目的大意是： 

   输入10个整数：a1,a2,...., a10.

   假设他们的乘积：k = a1*a2*....*a10.

   求k的公约数的个数N的个位数上是什么数字。

   

  解这个题目的关键在于，怎样求出一个数的公约数的个数.(如6的公约数的个数为4(1,2,3,6)).

  很多人一看，很简单啊，直接循环1~k，总可以求出来。

  这话虽没错，但只会使蛮力，不懂取巧，除了让自己的形象看起来更像一头牛，通常也会遇到效率上的瓶颈。

  这里输入的10个数，有可能会很大，因此直接暴力搜索约数的个数是不行的，第4个测试数据会被卡下来。

  

   事实上这类的题目用上一点点数论的知识，就可以得出很巧的答案。

   通常，在对一个整数进行分解的时候，我们常常把这个数写成素数的形式，这里我们也试试这样来分析一下。

 

  假设: 

      k = (p1^a1)*(p2^a2)*.....*(pi^ai)  (p1,...,pi是素数, ai > 0)

  

  显然，k的所有约数，肯定都是这些素数们的乘积，比如：

  6 = 2*3

  因此，6的约数为:2,3,2*3.

  刚好是： (1+1)*(1+1) - 1 = 3.

 

  问题其实就等价于：在a1个P1,a2个p2，....，ai个Pi,共(a1+a2+...+ai)个数中，通过相乘，可以找出多少个互不相等的数。

  这其实就排列组合的问题了。

  对于i个集合，每个集合各有aj个相同的元素( 1 =< j <= i),现在要从各个集合中抽出一定数量的元素，组成另一个集合，有多少种取法？

  每个集合有aj个元素，我们可以共有(aj+1)种取法（分别取0,1,...,aj个元素出来）

  因此对i个结合，共有(a1+1)*(a2+1)*....*(ai+1) - 1种取法（减1是排除掉各个集合里都只抽出0个元素的情况）

 

  现在回到我们的题目中来。

 对于， k = (p1^a1)*(p2^a2)*.....*(pi^ai)。k的约数的个数为：(a1+1)*(a2+2)*....*(ai+1) - 1

  但上面并没有包括1进去（1必然是k的约数）

 因此最后的结果是：(a1+1)*(a2+2)*....*(ai+1) - 1 + 1.

 

 由此可见，我们只要对各个输入数求一下他们的素数的表示形式，就很容易可以计算出他们的约数的个数了。

 而素数相对来说，是相当稀疏的，因此效率上必然比暴力搜索要好很多。

 

 

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<map>
using namespace std;

#define MAXV (10002)  //整数的最大上限。

static map<int,int> si;   //用保存素数的个数，如si[3] = 5,表示3^5

//下面两个数组用于筛法求素数表。
static bool isPrime[MAXV];
static int  prime[MAXV];

//求素数。
static void MakePrime()
{
    memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
    memset(prime,0,sizeof(prime));

    for(int i=2; i < MAXV; ++i)
    {
        if(isPrime[i])
        {
            prime[++prime[0]] = i;
            for(int j = 2;j * i < MAXV;++j)
            {
                isPrime[i*j] = false;
            }
        }
    }
}


//获取整数num的素数表示形式
//如 6 = 2*3   12 = (2^2)*(3)
void GetDivisor(int num)
{
     
    for(int i = 1;i <= prime[0] && prime[i] <= num;++i)
    {
        int t = prime[i];
        int s = t;

        while(num % s == 0)
        {
                si[t]++;
                s *= t;
        }
    }
}



int main()//
{
    int i = 0;
    int k ;
     
    MakePrime();
    si.clear();

    while(i++ < 10)
    {
        cin >> k;
        GetDivisor(k);
    }

    __int64 num = 1;

    map<int,int>::iterator iter = si.begin();
    
    for(;iter != si.end();++iter)
        num *=1+ iter->second;


    cout << num%10;

    return 0;
}