什么是仿射变换以及仿射变换矩阵？

仿射变换可以理解为

・对坐标进行放缩，旋转，平移后取得新坐标的值。

・经过对坐标轴的放缩，旋转，平移后原坐标在在新坐标领域中的值。

 

如上图所示，XY坐标系坐标轴旋转θ，坐标原点移动（x0，y0）。

XY坐标系中的坐标（X，Y），则求新坐标系xy中的坐标值的方程组为:

 

X = X･cosθ - Y･sinθ + x0

Y = X･sinθ + Y･cosθ + y0

 

写成矩阵形式为

 

| x |              | cosθ   sinθ |   | x0 |

|   | = | X Y | * |               | + |    |

| y |              | -sinθ cosθ |   | y0 |

 

为将原点移动的值放入矩阵，则可以加入一个不影响原方程组的解的冗余方程。于是可以写成

 

X = X･cosθ - Y･sinθ + x0

Y = X･sinθ + Y･cosθ + y0

1 = X･0     + Y･0     + 1

 

写成矩阵形式为

| x |                 | cosθ   sinθ   0|

| y | = | X Y 1 | * | -sinθ cosθ   0|

| 1 |                 | x0      y0      1|

 

这个矩阵就是Helmert变换矩阵。

 

考虑到新坐标系对于原坐标系在x，y两个坐标轴上的放缩率，可分别表示为λx和λy，则Helmert变换方程组可以修改为

 

X = (λx)X･cosθ - (λy)Y･sinθ + x0

Y = (λx)X･sinθ + (λy)Y･cosθ + y0

 

同样按照前述方法写成三阶矩阵为

 

| x |                 | (λx)cosθ   (λx)sinθ   0|

| y | = | X Y 1 | * | (λy)-sinθ (λy)cosθ   0|

| 1 |                 |  x0           y0          1|

 

这个矩阵就是affine变换矩阵，仿射矩阵。