线性方程组的基础解系

前言:线性代数的重点

将分为两种情况

  • 齐次
  • 非齐次

0X00 齐次线性方程组的基础解系

齐次线性方程我们说过很多次,这次我们要说的是更普通的齐次线性方程,不是方阵,就是普通的矩阵

线性方程组的基础解系_第1张图片

接下来我们来求解这个

其中 (一维列向量)称做解向量

当方程出现非零解的时候,既有无穷多解的时候:

解集 最大无关组 基础解系

故有:

问题的关键在于:

  • 如何求基础解系
  • 基础解析包含多少个向量

我们来做一道题目:

线性方程组的基础解系_第2张图片

我们先得到系数矩阵 A 的秩: 由于有 4 个未知量,所以基础解系中包含 4 - 2 = 2个向量

此时可以将原方程组行阶梯形矩阵表示:

我们把两个方程中的共同变量()取出来,分别取线性无关向量:

将 x2, x3 带入方程中:

求得两个解向量

线性方程组的基础解系_第3张图片

所以得到该线性方程的通解是:

以后所有的求齐次线性方程组的基础解系都用此方法

0X01 非齐次线性方程的基础解系

现在我们回到更一般的情况:

当非齐次线性方程有无穷解的时候求通解

首先我们得知道该方程是不是有无穷多解,假设我们有方程 如果方程有无穷多解则:

非齐次线性方程的基础通解 = 特解 + 齐次线性方程的解

现在我们举一个具体的例子:

线性方程组的基础解系_第4张图片

首先写出增广矩阵

线性方程组的基础解系_第5张图片

经过初等行列变化以后得到阶梯矩阵:

线性方程组的基础解系_第6张图片

接下来我们来求它的齐次通解(也就是将等式右边化为 0):

线性方程组的基础解系_第7张图片

按照之前的方法,首先给出 3 个自由变元的取值:

带入求得三个齐次方程的解向量

线性方程组的基础解系_第8张图片

最后我们求原来线性方程的特解:

特解的方法很简单就是将之前在解齐次方程设置的自由变元设为 0 就行,我们之前设置的是 ,得到一个特解:

最后我们得到原线性方程的通解:

特解 + 齐次线性方程的解 =

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