线性方程组的基础解系

前言：线性代数的重点

将分为两种情况

• 齐次
• 非齐次

0X00 齐次线性方程组的基础解系

齐次线性方程我们说过很多次，这次我们要说的是更普通的齐次线性方程，不是方阵，就是普通的矩阵

接下来我们来求解这个

其中 （一维列向量）称做解向量

当方程出现非零解的时候，既有无穷多解的时候：

解集 最大无关组 基础解系

故有：

问题的关键在于：

• 如何求基础解系
• 基础解析包含多少个向量

我们来做一道题目：

我们先得到系数矩阵 A 的秩： 由于有 4 个未知量，所以基础解系中包含 4 - 2 = 2个向量

此时可以将原方程组用行阶梯形矩阵表示：

我们把两个方程中的共同变量（）取出来，分别取线性无关向量：

将 x2, x3 带入方程中：

求得两个解向量：

所以得到该线性方程的通解是：

以后所有的求齐次线性方程组的基础解系都用此方法

0X01 非齐次线性方程的基础解系

现在我们回到更一般的情况：

当非齐次线性方程有无穷解的时候求通解

首先我们得知道该方程是不是有无穷多解，假设我们有方程 如果方程有无穷多解则：

非齐次线性方程的基础通解 = 特解 + 齐次线性方程的解

现在我们举一个具体的例子：

首先写出增广矩阵：

经过初等行列变化以后得到阶梯矩阵：

接下来我们来求它的齐次通解（也就是将等式右边化为 0）：

按照之前的方法，首先给出 3 个自由变元的取值：

带入求得三个齐次方程的解向量

最后我们求原来线性方程的特解：

特解的方法很简单就是将之前在解齐次方程设置的自由变元设为 0 就行，我们之前设置的是 ，得到一个特解：

最后我们得到原线性方程的通解：

特解 + 齐次线性方程的解 =