十一章 向量组的线性相关性

n维向量的概念

定义：n个有次序的数a1，a₂，a，所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的个分量，第i个数a，称为第个分量。

分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量。

复数的代数形式

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复数的集合意义：

（1）

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（2）

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复数的绝对值（复数模）的概念：

平面向量Oz的模|OZ，叫复数a+bi的模，记作|z|或|a+bil即复数z=a+bi在复平面上对应的点Z（a，b）到原点的距离。

n维向量的表示方法

n维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用aT，b，a，Br等表示，如：

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n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用ab，a，β等表示，如：

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注意
1.行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
2.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；
3.当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。

向量空间

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n>3时，n维向量没有直观的集合形象。

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叫做n维向量。
向量组定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构一个矩阵。

设矩阵A经初等行变换变成B，则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量组能由A的行向量组线性表示.由初等变换可逆性？可知，A的行向量组能由B的行向量组线性表示，于是A的行向量组与B的行向量组等价。

对方程组4的各个方程做线性运所得到的一个方程就称为方程绷的一个线性组合；若方程组B的每个方程都是方程细的线性组合，就称方程组B能由方程组4线性表示，这时方程组A的解一定是方程组细的解；若方程1与方程组B能相互线性表示，就这两个方程组等价，等价的方程组一定同解

线性相关性

1.若a1，a2，an，线性无关，则只有当A1=…=A，=0时，才有aa1+2a2+·…+A，an=0成立。
2.对于任一向量组，不是线性无关就是了线性相关.
3.向量组只包含一个向量a时，若a=0则说a线性相关，若a0，则说a线性无关.
4.包含零向量的任何向量组是线性相关的.
5.对于含有两个向量的向量组，它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向量共面。
线性相关的判定：
定理向量组a1，a2…，an当m>2时）线性相关的充分必要条件是a1，α₂…，an中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示。
线性相关性在线性方程组中的应用
(1)若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线性独立）.
(2)若向量组A:a1，a₂…，am线性相关则向量组B:a1，αm,am+l也线性相关反言之，若向量组B线性无关，则向量组4也线性无关.

一个间重组着有线性相关的部分组，则该向量组线性相关.特别地，含有零向量的向量组必线性相关.反之，若一个向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关。

最大线性无关向量组

定义设有向量组4，如果在4中能选出个向量a1，a，a，满足
（1）向量组A0：a1，₂，a，线性无关；
（2）向量组4中任意+1个向量（如果中有r+1个向量的话）都线性糕，那未称向量是向量组4的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量做r称为向量组的秩只含零向量的向量组漪最大无关组，规定它的秩为0.

矩阵与向量组秩的关系

定理矩阵的秩等于它的列量组的秩，也等于它的行向量组的秩
面证设A=（a1，Q2，am），R（A）=r，并设r阶子式D.40.根据4.2定理2由D.f0知所在的r列线性无关；又由A中所有r+1阶子式均为零，知4中任意r+1个列向量都线性相关.因此D，所在的r列是A的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于r.类似可证A的行向量组的秩也等于R（A）.

若D，是矩阵A的一个最高阶非零子式，则D，所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，D，所在的r行即是行向量组的一个最大无关组.
注意：（1）最大无关组不唯一；
（2）向量组与它的最大无关组是等价的。

齐次线性方程组解的性质

方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组Ax=0的解空间.

非齐次线性方程组解的性质

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与方程组Ax=b有解等价的命题线性方程组Ax=b有解
令向量b能由向量组a1，aa…，a，线性表示；令向量组a1，a₂，a，与向量组a1，C₂，，b等价；令矩阵4=（a1，a2…，a，）与矩阵B=（a1，aa…，an，b）
的秩相等

向量空间的概念

定义设V为n维向量的集合，如果集合卡空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。

1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指若

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2.n维向量的集合是一个向量空间，记作R"

子空间

定义设有向量空间，及2，若向量空间么C2，就说V是V2的子空间

向量空间的基与维数

定义设V是向量空间，如果r个向量a，a₂，
.a.EK且满足
（1）a1，2，a，线性无关；
（2）V中任一向量都可由a，a…，a，线性表示。那么，向量组a1，a…，a，就称为向量V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间
说明
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基.
（2）若把向量空间V看作向量组，那么V的基就是向量组的最大无关组，V的维数就是向量组的秩.
（3）若向量组a1，aa…，a，是向量空间的一个基，则V可表示为

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