数据结构 图之关键路径

关键路径

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网络

AOV网络：有向图，用顶点表示活动，用弧表示活动的先后顺序
AOE网络：有向图，用顶点表示事件，用弧表示活动，用权值表示活动消耗时间

名词解释

活动：业务逻辑中的行为，用边表示

事件：活动的结果或者触发条件

关键路径：具有最大路径长度（权重）的路径，可能不止一条

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活动的两个属性：

• e(i)表示最早开始时间
• l(i)表示最晚开始时间

事件的两个属性：

• ve(j)最早开始时间
• vl(j)最晚开始时间

在下面的计算过程中，就可以理解这些属性的概念了

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计算关键路径的过程

原理：

1. 先求出每个顶点的ve和vl值
2. 通过这两个值就可以求出每条边的e和l值。
3. 取e(i)=l(i)的边就是关键路径上的边，关键路径不止一条

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一、求ve(i)的值

1. 从前向后，直接前驱节点的ve值＋当前节点的边的权值（有可能多条，取最大值）
2. 第一个顶点的ve等于0

• ve(1) = 0
• ve(2) = ve(1) + len(a1) = 0 + 3 = 3
• ve(3) = ve(1) + len(a3) = 0 + 2 = 2
• ve(4) = ve(1) + len(a2) = 0 + 6 = 6
• ve(5) = min{ve(2) + len(a4),ve(4) + len(a8)} = min{7,7} = 7
• ve(6) = ve(3) + len(a7) = 2 + 3 = 5
• ve(7) = min{ve(a5) + len(a9),ve(6) + len(a10)} = min{10,9} = 10

下表为各顶点（事件）的ve值：

顶点	ve(1)	ve(2)	ve(3)	ve(4)	ve（5)	ve(6)	ve(7)
ve(i)	0	3	2	6	7	5	10

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二、求vl(j)的值

1. 从后向前，直接后继节点的vl值－当前节点的边的权值（有可能多条，取最小值）
2. 终结点的vl等于它的ve

• vl(7) = ve(7) = 10
• vl(6) = vl(7) - len(a10) = 10 - 4 = 6
• vl(5) = vl(7) - len(a9) = 10 - 3 = 7
• vl(4) = vl(5) - len(a8) = 7 - 1 = 6
• vl(3) = min{vl(6) - len(a7),vl(4) - len(a6)} = min{3,5} = 3
• vl(2) = min{vl(5) - len(a4),vl(4) - len(a5)} = {3,4} = 3
• vl(1) = min{vl(2) - len(a1),vl(4) - len(a2),vl(3) - len(a3)} = min{0,0,1} = 0

下表为各顶点（事件）的vl值：

顶点	vl(1)	vl(2)	vl(3)	vl(4)	vl(5)	vl(6)	vl(7)
vl(j)	0	3	3	6	7	6	10

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三、求e(i)的值

e(i):活动ai是由弧表示，则活动的最早开始时间应该和事件vk的最早发生时间相等，因此，就有e(i)=ve(k)。即：边（活动）的最早开始时间等于它发出的顶点(事件)的的最早发生时间

参考之前的个顶点的ve和c：

顶点	ve	vl
v1	0	0
v2	3	3
v3	2	3
v4	6	6
v5	7	7
v6	5	6
v7	10	10

• e(1)、e(2)、e(3) 活动（a1、a2、a3三条边）发出的顶点为v1，时间为0
• e(4) 即为a4这条边发出的顶点 v2的发生的时间ve(2) = 3
• e(5) 即为a5这条边发出的顶点 v2的发生的时间ve(2) = 3
• e(6) 即为a6这条边发出的顶点 v3的发生的时间ve(3) = 2
• e(7) 即为a7这条边发出的顶点 v3的发生的时间ve(3) = 2
• e(8) 即为a8这条边发出的顶点 v4的发生的时间ve(4) = 6
• e(9) 即为a9这条边发出的顶点 v5的发生的时间ve(5) = 7
• e(10) 即为a10这条边发出的顶点 v6的发生的时间ve(6) = 5

得出的e(i)值：

边	a1(3)	a2(6)	a3(2)	a4(4)	a5(2)	a6(1)	a7(3)	a8(1)	a9(3)	a10(4)
e(i)	0	0	0	3	3	2	2	6	7	5

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四、求l(i)的值

l(i):活动ai是由弧表示，则ai的最晚发生时间要保证vj的最迟发生时间不拖后（vj最迟发生时间为9的话，ai的最迟时间就必须是 9-活动耗时 ）。因此，l(i)=vl(i)-len，即：活动到达顶点的最晚发生时间减去边的权重

参考之前的个顶点的ve和c：

顶点	ve	vl
v1	0	0
v2	3	3
v3	2	3
v4	6	6
v5	7	7
v6	5	6
v7	10	10

l(i) = 当前边的指向结点的最晚发生时间[vl(i)] - 当前时间（即边）所消耗的时间

• l(1) = vl(2) - len(a1) = 3 - 3 = 0
• l(2) = vl(4) - len(a2) = 6 - 6 = 0
• l(3) = vl(3) - len(a3) = 3 - 2 = 1
• l(4) = vl(5) - len(a4) = 7 - 4 = 3
• l(5) = vl(4) - len(a5) = 6 - 2 = 4
• l(6) = vl(4) - len(a6) = 6 - 1 = 5
• l(7) = vl(6) - len(a7) = 6 - 3 = 3
• l(8) = vl(5) - len(a8) = 7 - 1 = 6
• l(9) = vl(7) - len(a9) = 10 - 3 = 7
• l(10) = vl(7) - len(a10) = 10 - 4 = 6

边	a1(3)	a2(6)	a3(2)	a4(4)	a5(2)	a6(1)	a7(3)	a8(1)	a9(3)	a10(4)
l(i)	0	0	1	3	4	5	3	6	7	6

五、求出关键边和关键路径

列出总表：

顶点	ve	vl	活动	e	l	l - e	关键路径
v1	0	0	a1	0	0	0	√
v2	3	3	a2	0	0	0	√
v3	2	3	a3	0	1	1
v4	6	6	a4	3	3	0	√
v5	7	7	a5	3	4	1
v6	5	6	a6	2	5	3
v7	10	10	a7	2	3	1
			a8	6	6	0	√
			a9	7	7	0	√
			a10	5	6	1

其中e(i)==l(i)的边：

a1 a2 a4 a8 a9

所组成的路径即为关键路径：

a1->a4->a9 和 a2->a8->a9