2018-02-22

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1934年阿兰·图灵从剑桥国王学院毕业，1935年当选为国王学院院士。不是因为他的著名的图灵机，因为那篇论文要到1936年才写出来，而是因为他证明了概率论中著名的中心极限定理。当然，中心极限定理其实在1922年就已被芬兰数学家林德伯格证明。但当时英国的数学界并不知道这事，图灵是独立完成的证明。这个成果和他以后的研究领域似乎没有什么关系，但说明牛人就是牛人。

1936年写了提出图灵机的著名的《论可计算数》后，他去美国的普林斯顿，在著名的逻辑学家丘奇指导下读博士，只用两年不到就写成了博士论文，获得学位。他的博士论文的题目是SYSTEMS OF LOGIC BASED ON ORDINALS（基于序数的逻辑系统），可在此处下载： O网页链接

他的博士论文主题由丘奇的一个试图“摆脱”哥德尔不完全性定理的想法而来。

根据哥德尔第二不完全性定理，一阶皮亚诺算术公理系统PA，它本身的自洽性是无法在PA内证明的，也就是“PA是自洽的”这个语句转化出来的算术命题P无法在PA内证明或否证。但是既然我们相信PA是自洽的，那么我们同样有理由相信P是真的。既然这个命题在PA内既不能被证明又不能被否证，那么我们就可以把这个命题作为新的公理加到PA中去，得到一个新的自洽的系统。在这个新的系统里，原来不能证明的P就能被（显而易见地）证明了。

但是由哥德尔第二不完全性定理，这个新的系统仍不能证明其自洽性，还是有一个命题，在新系统里既不能证明它，也不能否证它。新系统还是不完备的。那么如果我们把这个新语句加入新系统，得到一个新新系统，会怎么样？由哥德尔第二不完全性定理，这个新新系统仍不能证明其自洽性，还是有一个命题，在新系统里既不能证明它，也不能否证它。那么如法炮制，再将新新命题加入新系统，得到一个新新新系统……

记原系统PA为L0，新系统为L1，新新系统为L2，……这样我们得到了一串系统L0,L1,L2,……。如果把所有这些系统都并起来，成为Lω，它就能证明所有Li（i为自然数）的自洽性。而且所有这些新加入的公理“Li是自洽的”我们都没有理由去怀疑。

但是由哥德尔第二不完全性定理，这个Lω仍不能证明其自洽性，还是有一个命题，在新系统里既不能证明它，也不能否证它……让我们把它加入Lω，得到新的系统L(ω+1)，然后有L(ω+2)，L(ω+3)……

知道序数的朋友们大概看出来了，这不就是序数的模式吗？从0开始，得到1,2,3,……这些自然数，然后在所有的自然数的后面，有一个ω，接下去是ω+1,ω+2,ω+3……，然后在它们的后面是2ω，然后是2ω+1,2ω+2,……，接下去是3ω，类似的模式我们有4ω,5ω,……，在所有这些后面是ωω也就是ω^{2，然后是ω}3，ω^{4,……所有这些的后面当然是ω}ω，然后ω^ωω，ω^ωω^ω，……所有这些的后面我们不得不发明新符号了（就像自然数后我们发明了一个ω），这就是ε0（是下标的意思），接着又可以下去，无穷无尽……

丘奇问：考虑这样一系列系统（而不是象哥德尔不完全性定理中那样只考虑一个系统），它们是不是有某种意义上的完备性呢？图灵在博士论文中考虑了这一问题，并得出了肯定的答案。但是，他同样也指出，这种解决方法是令人失望的，其实只能说是转换了问题，把语句的真实性问题转换成了判断某序数是否在一个叫“可构造序数符号”的系统中，而后者的逻辑复杂性高于任何算术语句。

哥德尔不完全性定理，更正确的名字，也许应该是“哥德尔不可完全性定理”。