32. Longest Valid Parentheses

dp[i] = dp[start - 1] + (i - start + 1): dp[i]表示到第i个位置为止的有效括号长度，dp[start - 1]表示在start之前的有效括号长度，i - start + 1表示从i到start中间的有效括号长度，start是从栈里pop出来与右括号相对应的左括号，i是当前右括号的下标
if s[i] == '(': stack.append(i)，注意存放的是左括号下标
else: if stack: start = stack.pop() 如果遇到了右括号，且栈不为空，就从stack里pop出一个左括号的下标作为start
注意最后返回的是max(dp)

53. Maximum Subarray

假设我们已知第i步的global[i]（全局最优）和local[i]（局部最优），那么第i+1步的表达式是：
local[i+1]=Math.max(A[i], local[i]+A[i])，就是局部最优是一定要包含当前元素，所以不然就是上一步的局部最优local[i]+当前元素A[i]（因为local[i]一定包含第i个元素，所以不违反条件），但是如果local[i]是负的，那么加上他就不如不需要的，所以不然就是直接用A[i]；
global[i+1]=Math(local[i+1],global[i])，有了当前一步的局部最优，那么全局最优就是当前的局部最优或者还是原来的全局最优（所有情况都会被涵盖进来，因为最优的解如果不包含当前元素，那么前面会被维护在全局最优里面，如果包含当前元素，那么就是这个局部最优）

70. Climbing Stairs

这道题目是求跑楼梯的可行解法数量。每一步可以爬一格或者两个楼梯，可以发现，递推式是f(n)=f(n-1)+f(n-2)，也就是等于前一格的可行数量加上前两格的可行数量。熟悉的朋友可能发现了，这个递归式正是[斐波那契数列]

注意当n==0时，也返回1. 初始化时，dp[0]=1, dp[1] = 2，是从0和1开始，不是从1和2开始。
follow up是有没有更好的解法：有，O(logn)，使用斐波那契的通项公式

general term formula

Follow up实现

91. Decode Ways

dp[i]存储的是加入s中第i-1个元素后有多少种decode方式，所以dp[]初始化时的长度要比s多一位，并且使dp[0]=1

注意，0只能出现在1或者2后边，构成10，20，如果单独出现的0，则无法解析
如果字符s[i-1]不为0，则这个字符可以独立地被解析，例如：1-9，dp[i] += dp[i-1]
如果字符s[i-2:i]大于'09'且小于'27'，证明i-1位字符和i-2位字符可以放在一起被解析，dp[i] += dp[i-2]
dp[i-2:i] < '27'这是按ASCII码值来比较的，python中可以对字符串进行比较，都是先将其转换为ASCII码值。其中，大写字母的值都小于小写字母，同时（'ab'<'abc'）即空位的序数为所有字符最小
最后返回dp[-1]

96. Unique Binary Search Trees

这道题在树的分类里已经写过了，但还是有些细节需要添加。

res数组要初始化n+1位，因为包括0在内了，并且res[0]和res[1]都要初始化为1，其余均为0
res[i]+= res[j]*res[i-j-1], res[j]代表i左边的left branch数量，res[i-j-1]代表right branch数量。j是i左边的node个数，i-j-1是i右边的node个数，因为n是顺序分解的，所以个数相同，生成的BST就相同。
注意外层for循环i的范围：for i in range(2, n+1):
最后返回res[n]

95. Unique Binary Search Trees II

虽然在dp分类里，但其实更偏向于divide and conquer

构建一个生产子树的函数，参数为start， end，分别等于1和n
在这个函数内，如果start>end，就返回[None], 括号里一定要有none，如果start==end, 就返回[TreeNode(start)]
for i in range(start, end+1)， end要加1
leftsubtree = self.generate(start, i-1), rightsubtree = self.generate(i+1, end)
在for循环前要初始化res = []
将左右子树用两个for循环排列组合起来，要先root = TreeNode(i), 每组合成功一个后就res.append(root)

120. Triangle

这道题之前也写过了，需要注意的点有：

res初始化时的长度为triangle最后一行的长度再加1，加1是因为如果triangle里只有一行，那就超出了递归式里的索引范围
思路是将triangle reverse，然后针对每一行（倒序）里的每一个数字，更新res[i]，等于当前数字，加上一组的min(res[i], res[i+1])
最后返回res[0]，因为第一行只有一个数字

121. Best Time to Buy and Sell Stock

又是局部最优，全局最优方法。初始化local和res均为0，先判断数组是不是递减的，如果是就返回0if sorted(prices) == prices[::-1]: return 0
若不是递减的，针对数组中每一个数字，计算
local = max(0, local + prices[i+1] - prices[i]), res = max(res, local)

i的循环范围是for i in range(len(prices)-1), 因为后边有i+1
更新local时，应该加上原来的Local, 和0比较是因为价格有可能是负数。
为什么要加上原来的Local, 因为1，5，3，6， 1到6的距离是5，等于（5-1）+（3-5）+（6-3）

139. Word Break

针对动态规划的思路：

决定存储什么历史信息以及用什么数据结构来存储
递推式，就是如何从存储的历史信息中得到当前结果
初始值的设定
这道题，dp[i]表示的是在s中的前i-1个字符s[:i]是否存在wordDict里，初始化dp的长度要是s的长度加1，因为要存储dp[0]=True
双重for循环，注意内层循环时j的范围是for j in range(i, len(s)):, 从i开始到字符串结束。
判断条件if dp[i] and s[i:j+1] in wordDict: dp[j+1] = True
dp[i]为真证明s的前i-1个字符存在里边，如果s[i:j+1]也存在，我们就更新dp[j+1]为真
最后返回dp[-1]，d[7] is True because there is "code" in the dictionary that ends at the 7th index of "leetcode" AND d[3] is True

152. Maximum Product Subarray

和maximum sum subarray类似，只不过这道题是求最大乘积。方法也是先初始化maxlocal和res, 但这道题要再加一个minlocal，因为两个很小的负数相乘之后可能会变成很大的整数。所以对nums进行遍历时，递推式里要再加一项对minlocal的更新。
并且要注意因为已经初始化了maxlocal, minlocal, res = nums[0], nums[0], nums[0], 所以for循环要从1开始。
在每次循环过程中：

maxcopy = maxlocal
maxlocal = max(maxlocal*nums[i], nums[i], minlocal*nums[i])
minlocal = min(maxcopy*nums[i], nums[i], minlocal*nums[i])
res = max(maxlocal, res)

要先将maxlocal复制一下，作为计算minloca时使用

62. Unique Paths

具体思路参考第161页https://www.dropbox.com/s/d839bnp9lcroxmq/Sample_Interview_Questions_Set_16.pdf?dl=0

需要注意的是，我们可以用二维数组代替一维数组。只需要对一维数组更新m次就可以。因为在二维数组中，每个方格所拥有的路径数等于上边方格➕左边方格。在一维数组中，每次更新时，当前方格就属于上边方格，所以只需要加上左边方格就可。
还有一点需要注意，内部循环从1开始. 这是因为第一列中每个方格的路径数始终都是1

for i in range(m): 
       for j in range(1, n)```
- 初始化res[0] = 1，res的长度要和n一样！！
#63. Unique Paths II
在上一题的基础上增加了障碍，即有的方格为1时便不可通过。总体思想没有变化，依然可以用一维数组代替二维数组。
- 这次内部循环不能从1开始，因为第一列的方格中有可能存在障碍，即值为1，所以每次循环都要做判断：

if board[i][j] == 1:
res[j] = 0
elif j > 0:
res[j] += res[j-1]

- 依然需要初始化res[0] = 1，res的长度要和n一样！！

#64. Minimum Path Sum
依然是从左上角到右下角，求最短路径和。同样使用一维数组，因为第一行的每个元素只能从左边那个元素过来，所以grid第一行对应的一维数组：

for i in range(1, n):
res[i] = res[i-1] + grid[0][i]

然后对一维数组更新！！m-1次：

for i in range(1, m):
for j in range(n):
if j == 0:
res[j] = res[j] + grid[i][0]
else:
res[j] = min(res[j-1], res[j]) + grid[i][j]

- 当j==0时，证明我们在更新第一列，第一列的元素只能由上边的元素过来，所以是上边元素的值加上当前元素的值，res[j]就是上一行的第一列的元素。
- 当j!=0时，针对每个元素，它可以从上或左的元素得到，我们就在上和左元素中选一个最小值，再加上当前元素。上边的元素就是res[j]（因为此时还没有更新res[j]）, 左边的元素就是res[j-1]

Leetcode--DP