核函数可以把非线性可分的数据转换成易于分类器理解的形式
从某个特征空间到另一个特征空间的映射是通过核函数实现的。可以理解核函数为:能把数据从某个很难处理的形式转换成为另一个较容易处理的形式。svm优化的过程中可以把所有的运算写成内积的形式。向量的内积指的是两个向量相乘，之后得到单个标量或者数值，可以把内积运算替换成核函数，即核技巧
核转换函数
def kernelTrans(X, A, kTup):
"""
通过核函数将数据转换更高维的空间
Parameters：
X - 数据矩阵
A - 单个数据的向量
kTup - 包含核函数信息的元组
Returns:
K - 计算的核K
"""
m,n = np.shape(X)
K = np.mat(np.zeros((m,1)))
#kTup元组中的第一个参数是描述所用核函数类型的一个字符串，其他2个参数是核函数可能需要的可选参数
if kTup[0] == 'lin': K = X * A.T #线性核函数,只进行内积。
elif kTup[0] == 'rbf': #高斯核函数,根据高斯核函数公式进行计算
for j in range(m):#对矩阵中的每个元素计算高斯函数的值
deltaRow = X[j,:] - A
K[j] = deltaRow*deltaRow.T
K = np.exp(K/(-1*kTup[1]**2))#计算高斯核K '/'表示对矩阵元素展开计算
else: raise NameError('核函数无法识别')
return K #返回计算的核K
class optStruct:
"""
数据结构，维护所有需要操作的值
Parameters：
dataMatIn - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
C - 松弛变量
toler - 容错率
kTup - 包含核函数信息的元组,第一个参数存放核函数类别，第二个参数存放必要的核函数需要用到的参数
"""
def __init__(self, dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):
self.X = dataMatIn #数据矩阵
self.labelMat = classLabels #数据标签
self.C = C #松弛变量
self.tol = toler #容错率
self.m = np.shape(dataMatIn)[0] #数据矩阵行数
self.alphas = np.mat(np.zeros((self.m,1))) #根据矩阵行数初始化alpha参数为0
self.b = 0 #初始化b参数为0
self.eCache = np.mat(np.zeros((self.m,2))) #根据矩阵行数初始化虎误差缓存，第一列为是否有效的标志位，第二列为实际的误差E的值。
self.K = np.mat(np.zeros((self.m,self.m))) #初始化核K矩阵
for i in range(self.m):#计算所有数据的核K
self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)#两个数值型变量和一个元组
这里的数据结构optStruct中引入了一个新变量kTup，使用的是高斯核函数
高斯核函数公式
辅助函数
def loadDataSet(fileName):
"""
读取数据
Parameters:
fileName - 文件名
Returns:
dataMat - 数据矩阵
labelMat - 数据标签
"""
dataMat = []; labelMat = []
fr = open('testSet.txt')
for line in fr.readlines(): #逐行读取，滤除空格等
lineArr = line.strip().split('\t')
dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #添加数据
labelMat.append(float(lineArr[2])) #添加标签
return dataMat,labelMat
def calcEk(oS, k):
"""
计算误差
Parameters：
oS - 数据结构
k - 标号为k的数据
Returns:
Ek - 标号为k的数据误差
"""
fXk = float(np.multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*oS.K[:,k] + oS.b)
Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
return Ek
def selectJrand(i, m):
"""
函数说明:随机选择alpha_j的索引值
Parameters:
i - alpha_i的索引值
m - alpha参数个数
Returns:
j - alpha_j的索引值
"""
j = i #选择一个不等于i的j
while (j == i):
j = int(random.uniform(0, m))
return j
def selectJ(i, oS, Ei):
"""
内循环启发方式2
Parameters：
i - 标号为i的数据的索引值
oS - 数据结构
Ei - 标号为i的数据误差
Returns:
j, maxK - 标号为j或maxK的数据的索引值
Ej - 标号为j的数据误差
"""
maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0 #初始化
oS.eCache[i] = [1,Ei] #根据Ei更新误差缓存
validEcacheList = np.nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0] #返回误差不为0的数据的索引值
if (len(validEcacheList)) > 1: #有不为0的误差
for k in validEcacheList: #遍历,找到最大的Ek
if k == i: continue #不计算i,浪费时间
Ek = calcEk(oS, k) #计算Ek
deltaE = abs(Ei - Ek) #计算|Ei-Ek|
if (deltaE > maxDeltaE): #找到maxDeltaE
maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek
return maxK, Ej #返回maxK,Ej
else: #没有不为0的误差
j = selectJrand(i, oS.m) #随机选择alpha_j的索引值
Ej = calcEk(oS, j) #计算Ej
return j, Ej #j,Ej
def updateEk(oS, k):
"""
计算Ek,并更新误差缓存
Parameters：
oS - 数据结构
k - 标号为k的数据的索引值
Returns:
aj - 修剪后的alpah_j的值
"""
Ek = calcEk(oS, k) #计算Ek
oS.eCache[k] = [1,Ek]#更新误差缓存
def clipAlpha(aj,H,L):
if aj > H:
aj = H
if L > aj:
aj = L
return aj
完整的线性SMO算法
def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter, kTup = ('lin',0)):
"""
完整的线性SMO算法
Parameters：
dataMatIn - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
C - 松弛变量
toler - 容错率
maxIter - 最大迭代次数
kTup - 包含核函数信息的元组
Returns:
oS.b - SMO算法计算的b
oS.alphas - SMO算法计算的alphas
"""
oS = optStruct(np.mat(dataMatIn), np.mat(classLabels).transpose(), C, toler, kTup) #初始化数据结构
iter = 0 #初始化当前迭代次数
entireSet = True; alphaPairsChanged = 0
while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)): #遍历整个数据集都alpha也没有更新或者超过最大迭代次数,则退出循环
alphaPairsChanged = 0
if entireSet: #遍历整个数据集
for i in range(oS.m):
alphaPairsChanged += innerL(i,oS) #使用优化的SMO算法
print("全样本遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
iter += 1
else: #遍历非边界值
nonBoundIs = np.nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0] #遍历不在边界0和C的alpha
for i in nonBoundIs:
alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
print("非边界遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
iter += 1
if entireSet: #遍历一次后改为非边界遍历
entireSet = False
elif (alphaPairsChanged == 0): #如果alpha没有更新,计算全样本遍历
entireSet = True
print("迭代次数: %d" % iter)
return oS.b,oS.alphas #返回SMO算法计算的b和alphas
优化的SMO算法(没有变化)
def innerL(i, oS):
"""
优化的SMO算法
Parameters：
i - 标号为i的数据的索引值
oS - 数据结构
Returns:
1 - 有任意一对alpha值发生变化
0 - 没有任意一对alpha值发生变化或变化太小
"""
#步骤1：计算误差Ei
Ei = calcEk(oS, i)
#优化alpha,设定一定的容错率。
if ((oS.labelMat[i] * Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i] * Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
#使用内循环启发方式2选择alpha_j,并计算Ej
j,Ej = selectJ(i, oS, Ei)
#保存更新前的aplpha值，使用深拷贝
alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alphaJold = oS.alphas[j].copy();
#步骤2：计算上下界L和H
if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
else:
L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
if L == H:
print("L==H")
return 0
#步骤3：计算eta
eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j]
if eta >= 0:
print("eta>=0")
return 0
#步骤4：更新alpha_j
oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j] * (Ei - Ej)/eta
#步骤5：修剪alpha_j
oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
#更新Ej至误差缓存
updateEk(oS, j)
if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):
print("alpha_j变化太小")
return 0
#步骤6：更新alpha_i
oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])
#更新Ei至误差缓存
updateEk(oS, i)
#步骤7：更新b_1和b_2
b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]
b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]
#步骤8：根据b_1和b_2更新b
if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1
elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]): oS.b = b2
else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
return 1
else:
return 0
测试函数
def testRbf(k1 = 1.3):
"""
测试函数
Parameters:
k1 - 使用高斯核函数的时候表示到达率
Returns:
无
"""
dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF.txt') #加载训练集
b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 100, ('rbf', k1)) #根据训练集计算b和alphas
datMat = np.mat(dataArr); labelMat = np.mat(labelArr).transpose()
svInd = np.nonzero(alphas.A > 0)[0] #获得支持向量
sVs = datMat[svInd]
labelSV = labelMat[svInd];
print("支持向量个数:%d" % np.shape(sVs)[0])
m,n = np.shape(datMat)
errorCount = 0
for i in range(m):
kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1)) #计算各个点的核
predict = kernelEval.T * np.multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b #根据支持向量的点，计算超平面，返回预测结果
if np.sign(predict) != np.sign(labelArr[i]): errorCount += 1 #返回数组中各元素的正负符号，用1和-1表示，并统计错误个数
print("训练集错误率: %.2f%%" % ((float(errorCount)/m)*100)) #打印错误率
dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF2.txt') #加载测试集
errorCount = 0
datMat = np.mat(dataArr); labelMat = np.mat(labelArr).transpose()
m,n = np.shape(datMat)
for i in range(m):
kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1)) #计算各个点的核
predict=kernelEval.T * np.multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b #根据支持向量的点，计算超平面，返回预测结果
if np.sign(predict) != np.sign(labelArr[i]): errorCount += 1 #返回数组中各元素的正负符号，用1和-1表示，并统计错误个数
print("测试集错误率: %.2f%%" % ((float(errorCount)/m)*100)) #打印错误率
测试
testRbf()
输出
全样本遍历:第0次迭代 样本:0, alpha优化次数:1
全样本遍历:第0次迭代 样本:1, alpha优化次数:2
全样本遍历:第0次迭代 样本:2, alpha优化次数:3
全样本遍历:第0次迭代 样本:3, alpha优化次数:4
全样本遍历:第0次迭代 样本:4, alpha优化次数:5
全样本遍历:第0次迭代 样本:5, alpha优化次数:5
全样本遍历:第0次迭代 样本:6, alpha优化次数:6
全样本遍历:第0次迭代 样本:7, alpha优化次数:6
alpha_j变化太小
......
.....
......
alpha_j变化太小
全样本遍历:第7次迭代 样本:96, alpha优化次数:0
全样本遍历:第7次迭代 样本:97, alpha优化次数:0
全样本遍历:第7次迭代 样本:98, alpha优化次数:0
全样本遍历:第7次迭代 样本:99, alpha优化次数:0
迭代次数: 8
支持向量个数:36
训练集错误率: 0.00%
测试集错误率: 0.00%
源码