“可逆矩阵乘以任何矩阵不改变矩阵的秩”解答

在麻省理工《线性代数》Gilbert Strang 的复习课一中，有一道题是这样的：

习题

当时不太明白为什么可逆矩阵乘上矩阵D，矩阵B的零空间与矩阵D的零空间维数是一样的。于是在百度搜索资料，终于明白为什么这样，下面来解答一下：

• 若A可逆,则A可表示成若干个初等矩阵的乘积
• 对矩阵B左乘以一个初等矩阵,等价于对B做一次相应的初等行变换
• 对矩阵做初等变换不改变它的秩

因此，可逆矩阵乘以任何矩阵不改变矩阵的秩。

下面证明：

1. 对矩阵做初等变换不改变它的秩

证明1

2. 若A可逆,则A可表示成若干个初等矩阵的乘积

因为A可以由单位矩阵经过有限次初等变换来得到（从逆过程想，一个可逆矩阵通过消元法最终变换成单位矩阵，即，A-1A=I，从中我们可以得到一个结论：所有可逆矩阵一定可以最终变换成单位矩阵，不可逆矩阵不行，行变换相当于左边乘以初等矩阵,列变换相当于右乘一个初等矩阵，这样一个可逆矩阵就可以由一系列初等矩阵乘积来表示。