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题目: 统计数字
描述:
计算数字k在0到n中的出现的次数，k可能是0~9的一个值
样例
例如n=12，k=1，在 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]，我们发现1出现了5次 (1, 10, 11, 12)
解析
思路一：暴力求解法
从0遍历到n，将其中的每一个数的各个位分别于k进行对比,如果和k相等，则计数加一。
int digitCounts(int k, int n) {
int result = 0;
for (int i = k; i <= n; i++) {
int temp = i;
while (temp > 9){
int r = temp % 10;
if (r == k) {
result++;
}
temp /= 10;
}
if (temp == k) {
result++;
}
}
return result;
}
思路二：数学优化
我们看到这种方法的一个巨大的缺点是，当n越来越大时，我们需要分解的数，和步骤也越来越多，同时，我们发现我们分解了很大一部分得不到结果的数。这其实是一种浪费。
优化算法的原则：
- 尽可能的滤掉不符合条件的步骤。
- 尽量避免计算步骤随着n的增大，增长的过快。
基于这两个原则，如果能减少遍历次数，将会减少很大一部分运算量。最理想的情况下，如果我们指根据最后一个n能得出结果，这个就是最好的方式。分析整个题目，我们发现全部数字是处于一种递增的关系，也就是n其实是和总体之间是存在线性关联的，也就是说我们可以从n得出所有符合条件的数。
首先我们简化:
分析n = 10以内（不包括10）的数字,0,1,2,...,9，对任意一个数，总会出现一次，这里我们为了更加简化，我们先把0去掉，我们分析6.
分析100以内（去掉100），个位上的没10个就会出现一个6，分别是6,16,26,36,..,66,..,86,96;也就是个位上没个10个数就会出现一次，同时我们也看到十位上也出现了一次6就是60开始，我们发现60,61,62,63..,66,..,69,我们发现出现了10次，有人说66出现了两次，是不是该去掉，答案是不用，因为66本身其实就表示出现了两次6，
分析n = 300（去掉300）以内的数，个位数出现6的次数分别是6,16..,96,..,106,....,196..,206,..,296。每个10个出现一次，一共出现了300/10= 30次，十位上呢？分别是60,61..69,161..169,261..269;我们发现每隔100出现一次，出现3次，十位上每出现一次，机会增加10，共30次，则300以内6的个数为30+30 = 60次。
我们还发现一种情况：当n=900时，范围数值内出现了600-699的数值，这样会额外的增加100。我们需要进行修正。
依次类推，发现如果数字再打，则百位上出现一次6是每个1000出现一次，一次会增加100个。
于是我们可以这样理解：假设我们的n都是100，200，300，..1000,2000,9000,这样整百整千的数，我们是否可以写出代码呢？
显然，这个是很容易的。
我们需要一个条件，就是先知道这个数一共有多少位，然后根据位数来进行运算
int digitCounts(int k, int n) {
int result = 0; //结果
int base = 1;//最少是一位数
int tmp = n; //n的副本
int factor = 1;
//计算一共有多少位
while (tmp > 9){
base++;
tmp /= 10;
factor = factor * 10;
}
//计算最高位
int maxHigh = n / factor;
//从个位到十位，到百位...，累计出现的次数
//个位上出现一次就计数加1，十位上出现一次计数加10...
//计数倍数
int mulriple = 1;
for (int i = 1; i < base; i++) {
//计算在个位，十位，百位...出现的次数
//个位，每隔10个数，出现一次
int tFactor = 10 * mulriple;
//总共出现多少次
int time = factor/tFactor;
result = result + maxHigh * time * mulriple;
mulriple *= 10;
}
//修正结果，如果最高位大于k，则增加当前位进制大小的个数，
//如900之于6，存在一个600，则统计中增加了一个100，即factor
if (maxHigh > k) {
result += factor;
}
}
这样我们就可以计算n为整百整10的情况了，显然这样还够.还有一些其他的情况，如果n = 300,k = 3,我们没有把300计算进去，因此我们需要进去
int digitCounts(int k, int n) {
...//接着上面的
if (maxHigh == k) {
result = result +1;
}
}
这样我们就把整百的考虑完成了，下面我没考虑费整百的情况如123,353,..，这种情况。
我们的思路是这样，例如353为例，我们先考虑300以内的，然后加上300-353的。300以内的上面已经完成了，300-353的该如何做呢？当k > 最高位时，其实也就看看353-300 = 53 中有多少个满足条件的. k < 最高位时，我们上面已经考虑进去了，当 k = 最高位时，我们只需要将外的53在加上即可。因此我们的程序可以这样写。
int digitCounts(int k, int n) {
int result = 0; //结果
int base = 1;//最少是一位数
int tmp = n; //n的副本
int factor = 1;
//计算一共有多少位
while (tmp > 9){
base++;
tmp /= 10;
factor = factor * 10;
}
//计算最高位
int maxHigh = n / factor;
//从个位到十位，到百位...，累计出现的次数
//个位上出现一次就计数加1，十位上出现一次计数加10...
//计数倍数
int mulriple = 1;
for (int i = 1; i < base; i++) {
//计算在个位，十位，百位...出现的次数
//个位，每隔10个数，出现一次
int tFactor = 10 * mulriple;
//总共出现多少次
int time = factor/tFactor;
result = result + maxHigh * time * mulriple;
mulriple *= 10;
}
//修正结果，如果最高位大于k，则增加当前位进制大小的个数，
//如900之于6，存在一个600，则统计中增加了一个100，即factor
if (maxHigh > k) {
result += factor;
}
//计算剩余
n = n - maxHigh * factor;
if (maxHigh == k) {
result = result +n +1;
}
}
我们该如何计算剩余的部分计数呢？原理其实是一样的，我们只需要将这个数在进过一次过程就行了，因此我们可以写一个while循环，循环的结束条件是，只剩下个位。
int digitCounts(int k, int n) {
int result = 0; //结果
int base = 1;//最少是一位数
int tmp = n; //n的副本
int factor = 1;
//计算一共有多少位
while (tmp > 9){
base++;
tmp /= 10;
factor = factor * 10;
}
while (base > 1){
//计算最高位
int maxHigh = n / factor;
//从个位到十位，到百位...，累计出现的次数
//个位上出现一次就计数加1，十位上出现一次计数加10...
//计数倍数
int mulriple = 1;
for (int i = 1; i < base; i++) {
//计算在个位，十位，百位...出现的次数
//个位，每隔10个数，出现一次
int tFactor = 10 * mulriple;
//总共出现多少次
int time = factor/tFactor;
result = result + maxHigh * time * mulriple;
mulriple *= 10;
}
//修正结果，如果最高位大于k，则增加当前位进制大小的个数，
//如900之于6，存在一个600，则统计中增加了一个100，
//即factor
if (maxHigh > k) {
result += factor;
}
//计算剩余
n = n - maxHigh * factor;
if (maxHigh == k) {
result = result +n +1;
}
base--;
factor /= 10;
}
//将只有一位的情况也加上
if (n >= k) {
result++;
}
return result;
}
这样就完成了所有代码，但是这还远远不够，为什么这么说，因为我们上面所有的情况都没有考虑0的情况，我们发现，对n =1000，k = 3, 有这样的数字满足情况，3,30-39,40-49..300-399,当k = 0时，我们并不能找到，00-09，,000-099，这样的数，但是我们去将这种情况考虑进去了，因此我们需要去掉。
int digitCounts(int k, int n) {
int result = 0;
int base = 1;//最少是一位数
int tmp = n;
int factor = 1;
while (tmp > 9){//判断一共有多少位数，
base++;
tmp /= 10;
factor = factor * 10;
}
int tmpBase = base;
while (base > 1){
int maxHigh = n / factor;
//出现一次计数多少个
int mulriple = 1;
for (int i = 1; i < base; i++) {
//出现的次数，比如说，个位，没10个出现1次，出现了10次
//十位，每100出现了1次，
int tFactor = 10 * mulriple;
int time = factor / tFactor;
//当0出现在最高位时，不做计数,在计算剩余的时候却可以计数。10010，此时0010中00是起作用的
if (tmpBase == base && k == 0 && i > 1) {
time = time - 1;
}
result = result + maxHigh * time * mulriple;
mulriple *= 10;
}
if (maxHigh > k) {
if (k > 0) {
result += factor;
}
//计算剩余的时1100，此时计数100就需要将计数加上
else if (k == 0 && base < tmpBase) {
result += factor;
}
}
n = n - maxHigh * factor;
if (maxHigh == k) {
result = result + n +1;
}
base--;
factor /= 10;
}
if (n >= k) {
result++;
}
return result;
}