加解密算法-RSA

概述

RSA是"非对称加密算法"，非对称加密算法需要两个密钥：公开密钥（publickey）和私有密钥（privatekey）。公钥与私钥是配对的，用公钥加密的数据只有配对的私钥才能解密，反之亦然。因加解密使用两个不同的密钥，所以这种算法叫作非对称加密算法。

非对称算法的在应用的过程如下，假设发送方向接收方发送消息（明文）：

1.接收方生成公钥和私钥，公钥公开，私钥保留；

2.发送方将要发送的消息采用公钥加密，得到密文，然后将密文发送给接收方；

3.接收方收到密文后，用自己的私钥进行解密，获得明文。

数学基础

主要包括素数、互质数、欧拉函数、模运算

2.1互质

公因数只有1的两个数，叫做互质数；又称互素，若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。

2.2 欧拉函数

当n=p1*p2，且p1、p2互质时，有

φ(n)= φ(p1p2)=φ(p1) φ(p2)

即积的欧如果a与p1互质(a

e.对于任意一个大于1的正整数，都可以写成

n=p1k1p2k2…prkr，其中，p1,p2,…,pk为质数。

由d可知

φ(n)= φ(p1k1)φ(p2k2)…φ(prkr)，

再由c可知

φ(n)= p1k1p2k2…prkr(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pr)

即

φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pr)

这就是欧拉函数的通用计算公式。

2.3 欧拉定理

欧拉定理：

如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ(n)可使下面等式成立

aφ(n)≡1(mod n)

上式表示，a的φ(n)次方被n除的余数为1，或者叙述为，a的φ(n)次方减去1后可以被n整除。注意，φ(n)是n的欧拉函数。

欧拉定理的特殊情况：如果正整数a与质数p互质，因为质数p的φ(p)等于p-1，则欧拉定理可以写成就是我们所说的费马小定理

ap-1≡1(mod p)

2.4模反元素

模反元素：

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得ab-1被n整除，或者说ab被n除的余数是1。这时b被称为a的模反元素。公式如下：

ab≡1(mod n)

注意，模反元素并不唯一，如果b是a的模反元素，则b+kn都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素的必然存在：

aφ(n)= a×aφ(n)-1≡1(mod n)

密钥的生成与加解密

密钥生成

密钥生成的步骤如下：

1.随机选择两个不相等的质数p和q；

2.计算p和q的乘积n（将n转换为二进制后，二进制的长度就是密钥的长度，实际应用中一般选择1024位、2048位）；

3.计算n的欧拉函数φ(n)；

4.随机选择一个整数e，其中φ(n)>e>1，且e与φ(n)互质（实际应用中e一般选为65537）；

5.计算e对于φ(n)的模反元素d；

6.将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。

举例：

1.随机选择两个不相等的质数47和59；

2.二者的乘积为47×59=2773，2773转化为二进制为1010,1101,0101，长度为12位，所以密钥的长度为12位；

3.根据欧拉函数公式φ(n)=n(1-1/p)(1-1/q)计算，φ(2773)= 2773×(1-1/47)(1-1/59)=(47-1)(59-1)=2668；

4.随机选择一个整数e=63，2668>63>1，并且63与2668互质；

5.计算63对于2668的模反元素d，根据公式ed≡1(mod φ(n))，有63d-1=2668k，由欧几里得扩展公式计算得d=847。

6.公钥(n,e)=(2773,63)，私钥(n,d)=(2773,847)。

加解密

加密

假设发送方向接收方发送信息m，m未加密，我们称之为明文。发送方从接收方获得的公钥为(n,e)，加密公式为

me=c(mod n)

其中，m必须是整数，而且m必须比n小。

m,e,n已知，从上面的公式中计算出c，c就是加密后的信息，我们称之为密文。发送方将密文发送给接收方。

解密

接收方从发送方接收到密文c，用自己的配对私钥(n,d)进行解密，解密公式为

cd=m(mod n)

已知c,n,d，从上面公式中计算出m，就是发送方发过来的明文。

举例：

1.加密

根据上面计算出的公钥(n,e)=(2773,63)，假如m=244，根据公式me=c(mod n)，可计算出密文c=465。

2.解密

根据上面计算出的私钥(n,d)=(2773,847)，已知c=465，根据公式cd=m(mod n)，可计算出明文m=244。