压缩感知 compressive sensing

信号处理新理论

 

采样定理（又称取样定理、抽样定理）是采样带限信号过 程所遵循的规律， 1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确说明并正式作 为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。该理论支配着几乎所有的信号/图像等 的获取、处理、存储、传输等，即：采样率不小于最高频率的两倍(该采样率称作Nyquist采样率)。该理论指导下的信息获取、存储、融合、处理及传输等 成为目前信息领域进一步发展的主要瓶颈之一，主要表现在两个方面：

(1)数据获 取和处理方面。对于单个(幅)信号/图像，在许多实际应用中 (例如，超宽带通信，超宽带信 号处理，THz成像，核磁共振，空间探测，等等）， Nyquist采样硬件成本昂贵、获取效率低下，在某些情况甚至无法实现。为突破Nyquist采样定理的限制，已发展了一些理论，其中典型的例子为 Landau理论， Papoulis等的非均匀采样理论，M. Vetterli等的 finite rate of innovation信号采样理论，等。对于多道(或多模式)数据(例如，传感器网络，波束合成，无线通信，空间探测，等)，硬件成本昂贵、信息冗余及有 效信息提取的效率低下，等等。

(2)数据存储和传输方面。通常的做法是先按照Nyquist方式获取数据，然后将获得的数据进行压缩，最后将压缩后的数据进行存储或传输，显然，这样的 方式造成很大程度的资源浪费。另外，为保证信息的安全传输，通常的加密技术是用某种方式对信号进行编码，这给信息的安全传输和接受带来一定程度的麻烦。

综上所述：Nyquist-Shannon理论并不是唯一、最优的采样理论，研究如何突破以Nyquist-Shannon采样理论为支撑的信息获取、处 理、融合、存储及传输等的方式是推动信息领域进一步往前发展的关键。众所周知：(1)Nyquist采样率是信号精确复原的充分条件，但绝不是必要条 件。(2)除带宽可作为先验信息外，实际应用中的大多数信号/图像中拥有大量的structure。由贝叶斯理论可知：利用该structure信息可大 大降低数据采集量。(3) Johnson-Lindenstrauss理论表明：以overwhelming性概率，K+1次测量足以精确复原N维空间的K-稀疏信号。

近年来，由D. Donoho(美国科学院院士)、E. Candes(Ridgelet, Curvelet创始人)及华裔科学家T. Tao(2006年菲尔兹奖获得者，2008年被评为世界上最聪明的科学家)等人提出了一种新的信息获取指导理论，即，压缩感知（Compressive Sensing(CS)，或称Compressed Sensing、Compressed Sampling）。该理论指出：对可压缩的信号可通过远低于Nyquist标准的方式进行采样数据，仍能够精确地恢复出原始信号。该理论一经提出，就在 信息论、信号/图 像处理、医疗成像、模式识别、地质勘探、光学/雷达成像、无线通信等领域受到高度关注，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。目 前CS理论的研究尚属于起步阶段，但已表现出了强大的生命力，并已发展了分布CS理论(Baron等提出)，1-BIT CS理论(Baraniuk等提出)，Bayesian CS理论(Carin等提出)，无限维CS理论(Elad等提出)，变形CS理论(Meyer等提出)，等等，已成为数学领域和工程应用领域的一大研究热 点。在美国、英国、德国、法国、瑞士、以色列等许多国家的知名大学(例如，麻省理工学院,斯坦福大学，普林斯顿大学，莱斯大学，杜克大学，慕尼黑工业大 学，爱丁堡大学，等等)成立专门课题组对CS进行研究；2008年西雅图Intel，贝尔实验室，Google等知名公司也开始组织研究CS；近来美国空 军实验室和杜克大学联合召开CS研讨会，与会报告的有小波专 家R. Coifman教授，信号处理专家James McClellan教授，微波遥感专家Jian Li教授，理论数学专家R.DeVore教授,美国国防先期研究计划署(DARPA)和美国国家地理空间情报局(NGA)等政府部门成员，等等。

如同信号带宽对于Nyquist，信号的稀疏性是CS的必备条件；如同Nyquist采样规则对于Nyquist-Shannon采样定理，CS的关键是 非相关测量（为书写方便，称该测量为测量矩阵）； 如同Fourier变换对于Nyquist，非 线性优化是 CS重建信号的手段。CS的三个要素是信号的稀疏变换(目前的稀疏变换有DCT, wavelet, curvelet, overcomplete atom decomposition，等),稀疏信号的非相关测量（目前的测量方式为线性测量）及稀疏信号的重建算法； 因此构建硬件容易实现的测量矩阵和快速稳定的重建算法是将CS推向实用化的关键，也是CS的主要研究内容。

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