数学分析/高等数学内容概述

内容概述就是总结一下这门课到底是在学什么

总的来说，就是三个字：微积分。那为什么要学微积分呢，因为在大学的理工科研究中，导数积分运算就是和加减乘除一样的基础运算，算是工具，想象一下你到初中如果连九九乘法表都不会那初中的数学课物理课怎么上呢。

从微积分的历史来说，微积分的出现（牛顿莱布尼兹的时代）是在极限理论之前的，但当时的定义较为模糊，依赖直观的感觉，之后被人挑出漏洞（无穷小量说不清楚）。直到魏尔斯特拉斯给出了ε-N定义的极限理论，微积分才在极限理论的基础上系统的建立起来。

因此，在学习微积分之前，先要学习极限理论（数列极限，函数极限）

再说微积分的适用范围：维数上并没有局限，一般从一维讲起，之后扩展到多维。但从可积可微的条件上来说，自变量的范围至少要在实数域上（即有理数域不行，实数域复数域之类的可以，具体的参考“实数理论”），函数需要“大概是连续函数”（在实变函数论中我们称黎曼积分可积的充要条件是“闭区间上几乎处处连续”），比如有有限个间断点的连续函数。

因此，我们在学习微积分之前还要学习实数理论，初等函数，连续函数。

这些基础都打好了，我们就可以开始进入一维微积分的部分了：一般先讲微分和导数（注意他们的区别，尤其是高维情况），其几何特征很明显，就是变化率。之后讲不定积分，作为导数的逆运算定义。再之后是常义定积分（要求函数值有限，定义域有限），来源是为了计算曲边梯形绕面积，定义方法是分割求和取极限。在通过“微积分基本定理”，也就是牛顿莱布尼兹公式，将定积分与不定积分和导数串起来，并给出计算方法。再之后突破常义定积分的局限，出现反常积分。到这里一维微积分的框架基本搭好了，与之相关的比较重要的还有微分中值定理，无穷级数，泰勒展开等。这个“重要”的意思是，以后用处多，在后续的理工科专业课中用到中值定理，泰勒展开的机会比实数理论多多了。

后面就该到高维空间了，先学习高维空间的基础，欧几里德空间。有了基本概念和一维微积分的基础，其实高维的大部分理论都是一维的扩展，比如高维的极限理论，实数理论，连续性，偏微分，全微分，重积分等。额外的就是重积分的计算（包括格林公式高斯公式斯托克斯公式），梯度，场论等。到此数学分析/高等数学要求的微积分基本上就讲完了。

后面可能会再补充一些简单的常微分方程，复变函数，傅里叶展开等可能以后可能会用到的数学知识。