怎样学好数学——《数学是什么》读书笔记（6）

乐乐老师/文

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数学并非神秘的存在

想学好数学，首先应该知道数学和其它自然科学有什么不同。

数学和其它自然科学的差别主要表现在数学理论的严密性与抽象性上。

所谓严密性就是指数学中的一切结论只有经过用可以接受的证明证实之后才能被认为是正确的。所以，用例子说明正确通常是不靠谱的，如果结论适用于有限种情况还好，如果要说明对无穷多种情况都正确，“例证”就一定行不通了。相反，如果说明一个命题不正确，举出反例是极好的，当然了，不是所有假命题的反例都容易找出。如果你不知道这个命题对还是不对，那就麻烦了。你可能很多时间都花费在证明它的正确性上，证不出来，又花了很多时间找它的反例，只能在摇摆中艰难前行。例如，著名的Polya猜想在提出的四十年间人们都相信它是正确的，因为大量的验证都没问题，但是当大家从2一直验证到906150257的时候，情况发生逆转——反例找到了。数学理论的严密性要求学数学的人在学习的过程中，不仅要做习题，掌握解题的方法，而且要重视和学会证明结论的思想和技巧。当然，在数学中，直观和例子也很重要，它们往往是证明的发起点。

数学的抽象性人所共知。数学所研究的“数”与“形”和现实世界中的物质内涵没有直接联系。1可以代表1头牛，也可以代表1只鸡，还可以代表1集《欢乐颂》（电视剧）。一条线段可以代表一堵墙，也可以代表一座桥，还可以代表一束光。数学中的抽象思维是数学研究的必备素质，把直觉的认识上升到理性认识，也需要抽象，往往是从特殊到一般、从简单到复杂、从有限到无限。

数学如此抽象，是不是数学就没有用了？恰恰相反，正是由于数学的高度抽象，才会有数学的广泛应用。这一定理也许可以用于物理，还可以应用于化学，甚至可以应用于语言学、管理学等社会科学。安阳师范学院有一批老师在利用计算机研究甲骨文，得出了不错的成果，而其算法就是基于强大的数学原理。但很多人还是觉得数学没有什么用，特别是很多大学生，甚至是数学专业的大学生，觉得大学里学的数学还没有中学学的数学有用。原因是什么呢？

• 首先，没有读过大学的人或者是一般的本科生所认为的“有用”往往是他们所看到的范围：做饭吃饭、买衣服穿衣服、逛街购物、打车开车、买房装修、玩游戏、看电视、唱卡拉OK等等。如果你只关注这些而且还要求不高的话，数学是没什么用。但是地球上并非只有这些事。如果你是一个大学生，就应该看到更高的世界，就应该有更多的思考，例如手机为什么可以无线通信、神舟十号为什么可以翱翔太空、身份证中怎么储存个人电子信息、银行卡密码如何保证安全等等。大学生是科学研究的后备队，是科技发展的有生力量，如果大学生都不考虑这些，只关注生活与享受，整个人类的未来将会无比凄惨。如果你不是一个大学生，你也需要考虑：装修的时候怎么用料最划算，打车的时候什么方案最省钱，理财的时候怎么组合收益最大，甚至玩游戏的时候如何升级最合理等等，这些都是需要数学来解决的。数学对认真生活的人都是有用的，除非你想糊里糊涂愚度残生。

• 其次，很多数学老师过于保守，不去讲解所讲科目可以怎么用。在科学圈中很多做理论的看不起做工程的，很多做工程的也看不起做理论的。其实，如果一个人的理论和工程都做得很好，他就很容易收获出色的成果。数学的抽象性使得它的应用非常广泛，做数学的如果能和某些应用进行组合研究的话，很容易碰撞出火花。可惜许多数学人不愿意再去了解具体的应用，使自己只在数学圈中行走，固步自封。他们在讲授数学的时候自然只关注其严密的逻辑和优美的推理，不讲应用，他们很可能也不知道能怎么用，这样学生自然而然也就觉得数学只是思维的科学，没有什么用。一旦他们在学习的时候遇到挫折，很容易以数学无用为借口而得过且过，最后放弃学习。

• 再次，许多觉得数学没用的人其实是没学好而不会用。我在讲课的时候经常遇到这种情况，为了生动，举一些实际生活中的例子，用到当前所讲的内容，也会用到以前所讲的内容，而一说到以前的内容，学生往往集体陷入沉默。没有学会，你怎能理解数学用于实例时的妙处，而此时你得出数学无用的结论，岂不是大大冤枉了数学吗？

数学到底多有用，如果你对第二次世界大战有足够了解的话，你就会体会深刻。人们常说，第一次世界大战打的是化学战，第二次世界大战打的是物理战，却不知影响第二次世界大战的还有另一个重要因素——密码，所以第二次世界大战也是一次密码战。二战初期，德国配备当时最先进的“Enigma”密码机，使其在闪电战中取得重大胜利。但是随着“波兰三杰”和图灵将数学方法引入密码破译，Enigma开始展现了其脆弱的一面，二战的局势慢慢发生了变化。据估计，这些工作至少使二战提前结束三年，挽救了数以千万计的生命。“波兰三杰”和图灵是计算机专家吗？当然不是，在他们的时代还没有现代电子计算机，真正的电子计算机是基于图灵机模型在若干年后才出现的，他们是地地道道的数学家。

《模仿游戏》海报

二战之后，还出现了一些全新的数学分支，例如对策论、控制论、运筹学、线性规划、动态规划、整体规划等，都是实打实的应用数学。

数学有用，已经说得够多了。下面说说怎样学好数学。

学习数学最重要的一点就是要多思考。当然学什么都需要思考，但是由于数学的抽象性，对思考的要求尤其高。现代社会非常浮躁，能够静下心来思考的人越来越少，所以才有那么多的人说自己没有学习数学的天分，其实是缺少踏实做事的态度。当你真正想去学习数学的时候，就会发现数学其实并不难，学数学的技术问题都不是什么问题。

态度端正了，该怎么学呢？

• 第一步，需要学习和理解定义。对定义的学习是基础中的基础，有点儿像英语中的背单词。如果一个单词都不认识，学会英语就无从谈起，如果你不知道每个数学名词的确切含义，想学好数学也是不可能的；但是，即使你背了很多单词，也未必就知道它们的用法，数学定义也一样，要记住，还要会用。而且你要记住，每一个数学定义都相当于一个充要条件，这点很关键。

• 第二步，需要学习和理解定理。当然，学完定义很可能接下来要学习相关性质，学完若干定义之后可能要学习与它们相关的定理。定理是真理的外在表现形式，也是解释世界的直接语言。对于学生来说，不会定理，就无法做题。所以，学会学好定理也是学好数学的必要条件。学习的时候要注意它们的证明，还要注意它们之间的关联，如果能看出发现定理的人的心路历程，你就到了另外一个境界了。

• 第三步，就是做题了。学好数学必须做题，做题可以帮助你更好地理解定义和定理，也可以看清楚这些定义定理有什么用，可以怎么用。但是谁都知道题海战术并不可取，而且技巧性特别强的题往往不能提高你的数学素养。许多奥赛中出现的所谓的技巧，只对极少数特殊情况有用，而数学是解决一般性问题的工具，这些技巧其实是与数学的本质背道而驰的。

• 第四步，梳理总结所学。其实数学学习应该是“学习定义，学习定理，做题，再回头看定义，看定理”这样的一个循环过程，但是循环不能是一个无限循环，在循环中提高效率的一个有效手段，就是写出总结。当你对所学知识有了一定了解的时候，将你的学习心得、学习感悟写出来，既是对你知识体系的一次梳理，也是发现学习疏漏的一个好办法；既可以在你学完之后加深学习印象，又可以在一段时间之后回忆的时候有据可依。

这四个步骤，看似麻烦，其实可算捷径。当你热爱一件事情的时候，你是不会嫌麻烦的。你会像欧拉一样，乐在其中，乐此不疲。

最后我们简单说一说欧拉这个人。

欧 拉（请注意右眼）

欧拉于1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔（瑞士还有“一门八杰”伯努利数学家族）。14岁进入巴塞尔大学学习神学、医学和东方语言，被该大学的教授——伯努利家族中最牛的数学家之一、莱布尼茨的学生——约翰·伯努利看中，开始教他数学。欧拉17岁获得巴塞尔大学的硕士学位，18岁开始发表数学论文，20岁被约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利推荐，进入俄国最早的国家级科研机构彼得堡科学院工作，26岁获评院士。

欧拉应该就是我们所说的数学神童，少年得志。但是他并没有成为“长大后泯然众人”的反例，一生共发表论文、著作500多篇（部），加上未发表的一共有886篇（部），数量排名数学类历史第二（第一为保罗·埃尔德什，一生共发表1475篇论文，但是欧拉的数量中包含了大量的书籍，而且质量很高），是一位名副其实的高产数学家，一位实实在在的牛人。令人惊讶的是，在欧拉海量的论文著作中，竟然有400篇左右的论文和几本书是在他双目失明的17年中，用心算得出，用口述别人记录的方式写成，不禁让人惊为天人，这需要多么强大的毅力和心算能力啊！

欧拉研究的主要领域有：微积分、微分方程、解析几何、数论、级数和变分法；他是变分法的奠基人和研究复变函数的先驱者。以欧拉命名的数学公式、数学定理和数学量不胜枚举，如欧拉常数、欧拉恒等式、欧拉函数、欧拉级数、欧拉积分、欧拉微分方程、欧拉准则、欧拉变换、欧拉求积公式、欧拉方程、欧拉定理、欧拉坐标、欧拉刚体运动方程、欧拉流体方程等。

欧拉在发现专用技巧方面无人匹敌，并且有无与伦比的洞察力，能“看”（包括双目失明之后）出那些似乎毫无关系的数或函数之间的联系。此外，欧拉还有坚韧的毅力和勤奋刻苦的科学精神。28岁的时候，为计算彗星轨道奋战三天，终因过度疲劳患上眼疾，导致右眼失明。但对数学的热情丝毫不减，左眼视力也很快消退，在双明失明的前夕，他抓紧最后的时间，在黑板上奋笔疾书他发现的公式，口述其内容，让人记录。失明之后，不幸的事情接踵而至，1771年彼得堡大火将其书籍和手稿付之一炬，1776年，朝夕相处的爱妻病故。但欧拉没有退缩和堕落，在双目失明的17年中完成了大量的成果，其中包括经典名著《积分学原理》和《代数基础》。这让我想起微分几何大师陈省身在81岁时说过：“我的生命历程正在接近终点，我唯一的考虑是怎样度过这段时光。答案很简单，我将继续摆弄数学。所幸的是，整体微分几何还有许多基本问题。”

欧拉是“数学家中的英雄”，与牛顿、阿基米德、高斯并称“历史四大数学家”，晚年时几乎欧洲所有的数学家都尊称他为老师。法国著名数学家、天文学家拉普拉斯曾多次说过：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师。”