【流体力学】A compressible model for the simulation of moist mountain waves

摘要

建立了二维的、非线性的、非静力的模型来描述湿地形波。对模型的敏感性和准确性进行测试，并将它应用于实例的模拟。

1 引言

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在地形波中引入水汽的重要性
目前大部分研究忽略了地形波中水汽的作用，以干地形波的研究为主。地形波中的水汽能够通过改变层结稳定度来影响波的动力特性。

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引入水汽的三种方法
研究湿地形波的障碍是控制水汽流动的方程十分复杂，不易获得解析解。（方法1）因此大部分前人的研究对湿过程进行了理想化，虽然能获得有用的信息，但还是不能较好地模拟实际情况。
（方法2）还有把水汽对静力稳定度的影响作为切入点，依然使用干模型的方程，但在饱和区使用低稳定度来代替。这种方法的缺点是，如果平均状态比较复杂，也不能获得解析解。
（方法3）采用数值方法对湿模型方程进行积分。这种方法可以用来讨论更广泛的情景（不局限于解析解），结果也更准确。

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本文的工作
对第三种方法进行详细的介绍。

2 数值模式的构成

a 模型方程式

b 地形追随坐标系转换

c 可压缩运动方程的有限差分格式

d 边界条件

e 模型初始化和数值平滑

3 模型验证

a 等温大气中的线性静力波

图 1 （a）稳定状态的扰动水平速度，h=1000m，线性经理波动解析解；（b）积分ut/a=60后的扰动水平速度，h=1m，结果放大1000倍

图 2 与图1相同，为垂直速度

解析解（a）和数值解（b）非常一致。水平速度场最大值被低估，最小值被高估，垂直速度场对应得非常好。

图3 不同无量纲时间的水平速度垂直通量（经解析解标准化）

随着积分时间增加，数值解越来越接近解析解，当ut/a=60时，z=6.4km的值为稳定状态下解析解的94%，与解析解还有一定差距。

通量作为二阶量，与速度（一阶量）相比，对误差更敏感，但结果均可以接受。

b 非静力Long方程

图 4 Long方程的解析解（虚线）、在ut/a=40时刻的数值解（实线）

在山的下风方向，解析解和数值解出现微小的偏差，其余模拟的非常好。

图 5 不同无量纲时间的水平速度垂直通量（经解析解标准化）

在ut/a=40时，数值解和稳定状态的解析解十分吻合。

敏感性测试

• 初始条件（初始化）：由于波动是地形强迫引起的，初始条件的改变对数值解的影响不大；
• 侧边界条件：侧边界条件位置和具体形式对数值解都有影响；
  流入侧（inflow）：在高度非线性的情况下，数值解对入流侧的边界条件最为敏感；
  流出侧（outflow）：流出侧边界条件的影响主要取决于方程中波解的类型。垂直传播的波对它不敏感，而trapped wave影响很大；
  解决方案：侧边界尽量远离山体。
• 上边界条件（吸收层）：阻尼的强度影响不大，数值解的准确度与吸收层开始的高度有关。具体测试如下：

图 6 经线静力值标准化后的性地表气压拖曳，吸收层厚度为1.5λ，吸收层高度开始于1.25λ（实线）和1.5λ（虚线），中度非线性Nh/U=0.5（a），高度非线性Nh/U=0.8（b）。虚直线：稳定状态下的静力解

图 6 表明，在ut/a=20之前，两种上边界条件并没有太大差别，实线和虚线基本重合。在ut/a=20之后，实线（shallow domain）开始放大，而虚线（deep）开始衰退。在ut/a=60时，在a中（中度非线性）的两个解仍然项对接近静力解，但在b中差别很大。
上述现象可能的解释：对于上边界条件位置的敏感性问题可能是因为对辐射边界条件的数值逼近不够准确。同时，也需要注意，如果不稳定的、非线性的地形波通过波-波相互作用而向下传播时，辐射边界条件本身并不是正确的（这种情况不能使用辐射边界条件）。在这种情况下，使用辐射边界条件会消除边界高度上产生的反射，从而造成图6a、b中的现象

图 7 和图6相同，使吸收层厚度变为4.5λ，Nh/u=0.8（高度非线性）

从这里可以看出，在高度非线性的情况下，增加吸收层的厚度，发现敏感性显著降低。但依然有10%~15%的偏差，可能和侧边界条件有关。前人建立的θ坐标系中侧边界距离山体较远（±72a），结果更好，这里的实验中侧边界距离山体仅±9a。
总结：准确模拟垂直传播的、高度非线性的地形波需要很厚的波吸收层；对浅层吸收层的高度变化的敏感度似乎并不是这个模型所特有的。

图 8 与图6b相同，但是其中平均风速的减小（3~5km中风速由10减小到6m/s）在计算范围内产生了一个波破裂

在大部分的实际应用中，把计算浪费在较厚的边界条件中有点不切实际。这事我们需要保证计算范围内明确包含波吸收的一些地区。在图8这种情况下，当波进入风速减小的地区是会破裂，能量耗散，只需要一个较为浅薄的吸收层即可。

图 9 两种流线，在0~3km有相同的线性解，a中u=10m/s不随高度变化，b中在3km以上风速由10减小为6

上层风速的改变能够显著影响非线性解，因此需要明确的把吸收层纳入到计算范围内。在美国的落基山脉地区，这大概需要把计算高度延伸到15~20km左右。

1972.1.11 Boulder, Colorado风暴

与Peltier和Clark的模拟进行对比。

图 11 数值模拟出的等熵面 a、b本模型在t=4000s和t=8000s；c、dPC模型在t=4180s和8000s的结果

两种模型的结果比较接近

图 12 表面波拖曳与时间的函数 实线：本模型；虚线：PC模型

考虑到两种模型数值计算方案较大不同，两种模型的结果还是比较一致的。但也有缺陷：数值解不够稳定，一直在逐渐放大。

4 两个能够表现水汽在地形波传导中作用的例子

讨论水汽在地形波传导中的作用，阐明模型的实用性。

a 水汽对线性传播波的影响

图 13 a 流线，b水平风速 相对湿度为0%

图14 与图13相同 上游相对湿度为100%，阴影区有云

图 16 与图13相同 上游相对湿度为100%，并有0.2g/kg的云（过饱和）

水汽地形波比干空气地形波要弱很多，水平风速表现的非常明显。在N与u为常熟的大气中，水平风速扰动的大小和N成正比，因此在饱和地区静力稳定度的减小对于水平风速有很大的影响。

图 16 水平动量的垂直通量（经干线性静力值标准化），三条线分别表示上游不同的水汽含量

含有水汽的动量垂直通量比干空气的少一半，模型的数值计算解和解析解对应的很好。

b 水汽对1972.1.11风暴的影响

图 17 该过程的流线的数值模拟结果 a：实际探空资料 b：500hPa~700hPa有液态水存在。阴影区有云，深阴影区液态水质量浓度超过0.2g/kg

图 18 和17相同 为水平速度垂直分布

图 19 表面波拖曳与实践的函数。实线：干空气；短虚线：实际探空；长虚线：500~700hPa有云

从图17 18 19 可以看出，额外的水汽也能很大地减弱地形波。

关于焚风的讨论
在这个模拟中，背风侧的不可逆加热过程主要受到动力过程的支配。降水只在水汽含量极高的情况下出现，但湿模型中背风侧的温度比干模型中温度略低。其原因是干模型中地形波的振幅大。
此外，不允许降水出现的模型获得的结果和有降水模型的结果十分相似，意味着与降水相联系的不可逆加热过程对波的结构没有很大的影响。
关于水汽对波振幅影响的讨论
模拟结果表明水汽增多会使得地形波振幅减小。但也不排除在不利于地形波发展的情况下，水汽的存在也能在一定程度上增大振幅。

总结

本文描述了一个二维、非静力的、可压缩的，用来数值模拟水汽地形波的模型。该模型的数值解能够较好的逼近解析解。对模型进行敏感性测试，得到以下结论：

1. 只要有高度非线性波传入吸收层时，数值解对于上边界条件所处的高度十分敏感；
2. 消除这种敏感性主要有两种方法：

• 增加吸收层的厚度；
• 把波破裂的区域纳入到数值计算的范围之内，减小进入吸收层的振幅。
  随后对模型的实用性进行测试，得到以下结论：

1. 对于线性传播的地形波，当RH从0增加到100%时，线性地形波的强度减小一半，但如果继续增加水汽，作用不显著；
2. 模拟72.1.11风暴过程发现，在500~700hPa增加云，能够大大减少地形波的振幅；
3. 焚风效应与地形波振幅有很强的关系，干模型中焚风效应更强，背风侧增暖更明显。