【AI基础】基尼系数与基尼不纯度

学过决策树的人大概都知道，构造树可以用基尼系数。那问题来了，衡量收入分配差异也可以用基尼系数，这两个基尼系数计算过程差异很大，但名称却一样，这是怎么回事呢？

我也一直有这个疑惑，最近查了一下才搞明白。衡量收入分配差异状况的那个，是真正的基尼系数（Gini Coefficient）；用来构造决策树的那个，准确叫法是基尼不纯度（Gini Impurity）。

我特意查了下，李航老师的《统计学方法》和周志华老师的《机器学习》，都称基尼不纯度为基尼指数（Gini Index）。其实这种叫法也说得过去，指数的英文是Index，是有度量、表征的意思。把一个有度量、表征作用的变量叫做指数，似乎也合理。

但是网上的资料大多都把基尼不纯度称为基尼系数，这个叫法就不准确了。本文就带你看一下这两个概念。

一.基尼系数

一般所说的基尼系数都是指收入基尼系数。除了用于衡量收入，基尼系数也可以用于一些其他领域，是意大利经济学家基尼于1922年提出的。

我们一般从概念和公式开始，再结合场景去进行理解一个指标，但这正好和解决实际问题的过程相反。实际中一般是先有场景，为解决场景问题，才能得出概念和公式。现在从场景问题出发，看一下洛基尼系数是怎么得出来的。

问题

假设有个国家，人不多，一两亿吧。已知这个国家每个人的的收入，且按收入从低到高排好了顺序，需要衡量这个国家的贫富差距状况。

我想一般人都和我一样，可以想到考察分布的均匀程度，想到用方差。现在看，计算各类统计量很容易啊，调用一个函数就搞定了。

但如果再加一个假设，你穿越到了100年前，没有计算机和手机，只能手算。

一个国家上亿的人口，去计算方差？崩溃了！小心脏瞬间碎了！

解决方案之洛伦兹曲线

首先，统计学家洛伦兹在1905年提出了洛伦兹曲线。这是怎么一条曲线呢？该怎么画呢？

第一步，确定坐标轴，横坐标是累积人口百分比，纵坐标是累积收入百分比。第二步，计算全国总人口数和总收入。第三步，从收入最低的人开始，逐个人累积，并计算两个累积量，并将每次计算的点画到坐标轴上。第四步，将所有点平滑的连起来。

这样就画出了洛伦兹曲线，就是下图黄色的曲线。过程比计算方差容易多了多，没有平方这种崩溃的计算。

这条曲线可以衡量贫富差距程度，比如下图红点的坐标是(40,7)，其含义是全国最贫困的40%人的只能拿到全国7%的钱。

如果红点下移，代表分到的钱更少，也就是贫富差距越大。所以说，洛伦兹曲线弯曲程度越大，代表贫富差距越大。

解决方案之基尼系数

洛伦兹曲线可以反映贫富差距，但是我们好像更习惯数值型的指标。基尼系数就是个数值型指标，是在洛伦兹曲线基础上计算的。

如果全国的人收入都相同，那里洛伦兹曲线就会是绿线。设绿线和黄线之间的面积为A，黄线和两个坐标轴之间面积为B，基尼系数为A/(A+B)。

基尼系数是一个比例，所以在0和1之间；如果黄线和绿线重合，那么A为0，所以基尼系数为0，代表无贫富差距；如果黄线和坐标轴重合，那么B为0，基尼系数为1，代表最大的贫富差距。

基尼系数多少才合适

国际上认为基尼系数合理的范围是0.2~0.4，太小不好，代表社会收入差距太小，干好干坏都一样，人们会丧失动力，社会也就没有了活力；基尼系数太大也不好，太大就会“朱门酒肉臭，路有冻死骨”，造成社会不稳定。

看一下我国基尼系数的情况，如下图。可看出，我国的基尼系数是一个先增后减的过程，这意味着是一部分人先富起来，逐渐达到共同富裕。

我国基尼系数走势图

看一下世界各国基尼系数，虽然不是最新的图，但是也能看出一些问题。让我有点意外的是，印度竟然是绿色的，感兴趣的可以网上搜一下原因。

世界基尼系数地图

二.基尼不纯度

基尼不纯度的故事就比基尼系数少多了。上一篇文章《【AI基础】什么是信息？什么是熵？》中讲到，熵H(X)的计算公式为:

。对其中的-log p(x)进行泰勒展开后，忽略高阶项（因为p小于1，所以高阶近似于0），就得到了基尼不纯度的公式:

。

从基尼不纯度的计算可以看出，它的计算更加方便，是熵的一个近似值。所以含义和熵差不多，可以衡量不确定性的大小，可以衡量杂乱程度也就是不纯度。

另外，对于二分类问题，还可以画出熵、基尼不纯度、分类误差率与p之间的图形。为了更好反应变量关系，曲线中的熵除以2。（其中分类误差率可以理解成分错的最大概率。为更准确，对于不确定的样本肯定会向概率大的类别中分，所以误差率就是较小的类别概率。）

二分类中熵、基尼不纯度、分类误差率的关系图

可以看出，p为0或1时，熵、基尼不纯度、和分类误差率都为0，代表不存在不确定性；当p为0.5时，也就是两个类别的概率相等时，熵、基尼不纯度、和分类误差率最大，不确定性最大。

三.基尼指数、基尼不纯度的关系

这两个指标，计算过程和含义，差异都是挺大的，但是为啥后来搞混了呢。我猜想，两个指标都是一种度量和表征，所以都可以称为“指数”；而又都姓“基尼”，所以用着用着就都成为“基尼指数”了；再用着用着，就分不清彼此了。希望本文能帮您把关系理顺。

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