关于Coalescent theory(溯祖理论)

序言

作为刚刚写完一些术语的解答的我，觉得应该进一步的了解一下进化相关的数学模型。其中包括但不仅仅局限与Tajima's D中经常提到neutral model，当然还有另外一个则是经常在探究是否是neutral还是adaptive进化时提到的Coalescent theory，这篇文章打算全面的学习一下这东西。

介绍Coalescent theory

从词的本身的含义上就大概知道这一整个词的意思，Coalescent 本身就是合并、联合的意思，所以该理论则是为了将现有的个体，按照一定的理论依据，进行合并，从而得到共同祖先的过程。
该模型最早在1980年开始提出并发展，但主要贡献者为John Kingman。
在最简单的假设下，则是没有重组，自然选择，基因流动，种群结构变化，那么每一个变异都是同等机会的从上一代传到下一代。

该模型中的变异来自于

1. 父代到子代时随机的传递
2. allele随机发生的突变

由于这个数学模型阐述的是非常原始的一个问题，“如何从祖先到现存的观测的个体？”所以通过该理论，可以进行模拟和验证其它模型，所以在很多的模型中也会涉及到这个理论的一部分内容。

理论内容

1. Time to coalescence
   对于两个株系来说，计算其来自共同祖先的概率，即计算共享一个父代DNA序列的概率。由于基本假设中，有效种群大小没变，加上对于二倍体的群落来说，某个locus存在2Ne个拷贝，所以父代也有2Ne个，在随机交配假设下，两个alleles来自同一个父代拷贝的几率是1/2Ne，相应的，不来自同个父代拷贝的则是1-1/（2Ne）
   在接下去的每一代中，coalescence的概率呈几何分布即计算N次投硬币时的概率分布，即如下
   
   
   而由于几何分布的特性，当Ne足够的大时，该分布会近似于指数分布。由于这是一种数学上的转化，转化后该指数分布就拥有相对应的期望与方差，但虽然拥有一个期望时间是2Ne，但其实真实的coalescence tim还有更大的variantion。注意的是其中的coalescent时间的单位是代，如果要转化成为真实时间的话，需要再进行乘上平均传代时间。
2. Neutral variation
   除了计算coalescent时间，同时也可以建模估计来自遗传漂变和突变的DNA序列上的变异。在此称之为平均杂合性(mean heterozygosity)，通过计算某一代中发生的突变的概率，除以这一代发生任何事件（包括突变和合并）的概率。
   一个事件是突变的概率，则是一个突变出现在两个lineages之一的几率，即2μ(2 倍的突变率)
   
   
   分母就是突变和合并的概率之和。
   其中θ则为pairwise的差异，由neutral model得出。对于θ>=1的情况，则代表大部分的allele pairs在核苷酸序列上至少有一个差异(difference)。