[专题学习][计算几何]

原文地址:http://www.cnblogs.com/ch3656468/archive/2011/03/02/1969303.html

 

 

基本的叉积、点积和凸包等东西就不多说什么了,网上一搜一大堆,切一些题目基本熟悉了就差不多了。

  一些基本的题目可以自己搜索,比如这个blog:http://blog.sina.com.cn/s/blog_49c5866c0100f3om.html

  接下来,研究了半平面交,思想方法看07年朱泽园的国家队论文,模板代码参考自我校大牛韬哥:

http://www.owent.net/2010/10/acm-%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%87%A0%E4%BD%95-%E4%B8%AA%E4%BA%BA%E6%A8%A1%E6%9D%BF.html

  一些半平面交的题目:

  POJ 3335 Rotating Scoreboard
  http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3335


  POJ 3130 How I Mathematician Wonder What You Are!
  http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3130


  POJ 1474 Video Surveillance
  http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1474
  知识点:半平面交求多边形的核,存在性判断

 

  POJ 1279 Art Gallery
  http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1279
  半平面交求多边形的核,求核的面积

 

  POJ 3525 Most Distant Point from the Sea (推荐)
  http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3525
  给出一个多边形,求里面的一个点,其距离离多边形的边界最远,也就是多边形中最大半径圆。
  解法:可以使用半平面交+二分法解。二分这个距离,边向内逼近,直到达到精度。

 

  POJ 3384 Feng Shui (推荐)
  http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3384
  半平面交实际应用,用两个圆覆盖一个多边形,问最多能覆盖多边形的面积。
  解法:用半平面交将多边形的每条边一起向“内”推进R,得到新的多边形,然后求多边形的最远两点。

 

  POJ 1755 Triathlon (推荐)
  http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1755
  半平面交判断不等式是否有解。注意不等式在转化时正负号的选择,这直接影响到半平面交的方向。

 

  POJ 2540 Hotter Colder
  http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2540
  半平面交求线性规划可行区域的面积。

 

  POJ 2451 Uyuw’s Concert
  http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2451
  Zzy专为他那篇nlogn算法解决半平面交问题的论文而出的题目。

 

  (以上题目来自别人的blog,后面还有几题是我自己找到的)

  POJ 1271 Nice Milk
  http://poj.org/problem?id=1271
  黑书习题
 
 
  UVA 11722 Joining with Friend
  http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=117&page=show_problem&problem=2769
  概率问题,这个规模用半平面交有点浪费,不过就当练习了
 
 
  USACO 2010 MARCH GOLD StarCowraft
  http://61.187.179.132:8080/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1829
 
  

 

 
 
 
 
 
 
 
 

  接下来稍微弄了一下坐标旋转的问题,具体可以参考武汉大牛的博文http://dumbear.com/blog/?p=143

  坐标旋转题目切得不多

  HDU 1700 Points on Cycle
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1700
  比较基础的一道题
 
  POJ 3845 Fractal
  http://poj.org/problem?id=3845
  注意eps的取值
 
  POJ 1133 Stars
  http://poj.org/problem?id=1133
 
  Harbin Online Contest 2010
  http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&id=1006&cid=16
  三维坐标旋转。这个要有账号才能提交,还有就是Sample Input 中第二个Sample的“275”改成“270”
 
  HDU 3623 Covering Points (2010天津网络赛C题)
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3623 (航电没有这题了)
  http://acm.tju.edu.cn/toj/showp3740.html 
 
  FZU 2002 Shade of Hallelujah Mountain (2010福州regional)
  http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2002

  HDU 4087 ALetter to Programmers (2011 北京现场赛)
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4087
  三维旋转矩阵 + 矩阵加速

 



 

 

  然后是旋转卡壳,一个很好的学习网站http://cgm.cs.mcgill.ca/~orm/rotcal.html(不过是英文的),后来找到一个大牛的blog里有部分翻译http://blog.csdn.net/ACMaker,综合起来看了一下,收益良多啊。

  一些旋转卡壳的题目

  POJ 2187 Beauty Contest
  http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2187
  凸包求最远点对。可以暴力枚举,也可以使用旋转卡壳。

 

  POJ 3608 Bridge Across Islands
  http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3608
  两个凸包的最近距离。

  上面两题可以参考blog:http://www.cppblog.com/staryjy/archive/2009/11/19/101412.html(上面代码很不错)

 

  POJ 2079 Triangle
  http://poj.org/problem?id=2079
  这题以为O(N^2)的复杂度会超时,结果就是O(N^2)复杂度
 
 
  UVA 10173
  http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&category=13&problem=1114&mosmsg=Submission+received+with+ID+8029560
  给定点集S,求S的最小覆盖矩形
 
  
 

 

 

 

 

  然后看了一些扫描线之类的东西。

  推荐几道比不错的题目:

  POJ 2932 Coneology
  http://poj.org/problem?id=2932
 
  HDU 3124 Moonmist
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3124
  最近圆对问题(二分 + 扫描线)
 
  HDU 3867 Light and Shadow
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3867
  (按极角扫描)注意-PI和PI的位置分割

 

 

 

  下面看了一些随机算法:(08年顾研论文-《浅谈随机化思想在几何问题中的应用》)

     (1)随机增量法:这个算法很犀利啊,把一些计算几何的问题降了一个n复杂度。(典型的有最小圆覆盖)

        网上找了最小圆覆盖的随机增量算法,里面代码倒是不错,就是解释的不是很清楚,推荐看《计算几何算法与应用(第3版)》(邓俊辉译,清华大学出版社出版)中第91页“4.7最小包围圆”这个章节中的内容,比较详细也很清楚,代码我参考了这个blog的http://blog.csdn.net/pvpishard/archive/2011/01/27/6167262.aspx

    (2)模拟退火:参考顾研论文

      模拟退火的题目:

      POJ 1379 Run Away
      http://poj.org/problem?id=1379
 
      POJ 2420 A Star not a Tree?
      http://poj.org/problem?id=2420
 
      URAL 1520 Empire Strikes Back(推荐)
      http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1520
      顾研论文例题,不错的题目
 
      POJ 2069 Super Star
      http://poj.org/problem?id=2069
      此题我WA和TLE了很多次
 
      POJ 3301 Texas Trip
      http://poj.org/problem?id=3301
      这题也可以用三分
      
      SPOJ 4409 Circle vs Triangle
      https://www.spoj.pl/problems/AREA1/
      模拟退火 + 解析几何
 
      POJ 3285 Point of view in Flatland
      http://poj.org/problem?id=3285
      这题的难点在于找到合适的评估函数,当然这题也可以通过解方程组来做
 
      POJ 2600 Geometrical dreams
      http://poj.org/problem?id=2600
      这题不是模拟退火的题,但是可以用模拟退火过。非模拟退火的方法也不难
 
 
 
 
 

 

 

 

  解析几何平面最近点对,。。。这些搞得也不是很深入。

 
 

 

  

  折纸问题 参见大牛dumbear的blog http://dumbear.com/blog/?p=249

  两道题目

  POJ 1921 Paper Cut
  http://poj.org/problem?id=1921
  这题相对下一题还算比较好做
 
  POJ 3806 Origami Through-Hole
  http://poj.org/problem?id=3806
  这题处理有点麻烦,我调试了很久才过
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  圆的面积并和交,详细可以看AekdyCoin大牛的blog

  圆的面积并:http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/c1b28e3711246b3f0b55a95e.html

  圆的面积交:http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/12267a4e9476153bafc3abbd.html

  题目:

  SPOJ 8073 The area of the union of circles
  https://www.spoj.pl/problems/CIRU/
 
  SPOJ 3863 Area of circles
  https://www.spoj.pl/problems/VCIRCLES/
 
  SPOJ 8119 CIRU2
  https://www.spoj.pl/problems/CIRUT/
  圆面积并的拓展
 
  HDU 3467 Song of the Siren
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3467
 
  HDU 3239 Jiajia's Robot (推荐)
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3239
  很巧妙的一道题,我是看了AC大牛blog中的留言才知道到方法的。
    方法见AC大牛blog中的一条留言:http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/12267a4e9476153bafc3abbd.html
 
 
  
 
 
 

  凸多边形的面积并

  先看了AC大牛的blog学会了O(N^3)的方法,后来在做Codeforces的时候发现有O(N^2*logN)的方法,而且也不繁琐

  AC大牛的博文:http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/fbe5a03232c71952ad4b5fcc.html

  Codeforces Round #83 DIV1 的 E题用O(N^3)的方法过不掉第49组数据,然后研究了其他大牛的凸多边形交的代码

  http://codeforces.com/contest/107/status/E

  先是看了dagon的代码发现其实他的代码有问题,Codeforces的数据居然没有查出来。然后看了syntax_error的代码,

  发现他是用类似梯形剖分的方法做的,复杂度O(N^2*logN),果断就学习了

  题目:http://codeforces.com/contest/107/problem/E

  有关细节:http://www.cnblogs.com/ch3656468/archive/2011/10/17/2215551.html

 
 
 
 
  
 
 

  一类题目是给出一些点,并告诉你哪些点之间有连线,并且这些连线段之间除端点之外没有其他交点(有时候这些线段是要自己处理出来的)。

   然后题目要你求

    1 每小块多边形的面积

    2 有多少个K多边形内部不含点和线段

    3 这些线段围成的图形的轮廓线

  这类题目的方法都差不多,在很多大牛的blog里都可以找到类似的方法。

  比如: gccfeli大牛的blog:http://gccfeli.cn/2007/09/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%87%A0%E4%BD%95-pku1092-%E5%A5%87%E7%89%B9%E7%9A%84%E6%8A%80%E5%B7%A7.html

      watashi大牛的blog:http://watashi.ws/blog/970/andrew-stankevich-3-solution/

      Isun大牛的blog:http://hi.baidu.com/xh176233756/blog/item/29652646f0e870006a63e5cb.html

  题目:

  POJ 1092 Farmland
  http://poj.org/problem?id=1092
 
  ZOJ 2361 Areas / SGU 209
  http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2361
  不错的一题,watashi的blog里有解题报告
 
  POJ 3743 LL’s cake
  http://poj.org/problem?id=3743
 
  POJ 2164 Find the Border
  http://poj.org/problem?id=2164
 
 
 
 
 
 

  三维几何

  网上有关三维几何的内容很少阿,代码和题目基本都不怎么能搜到,我也就切了不多的几题

  前面坐标旋转里的两到题:

 

    Harbin Online Contest 2010
    http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&id=1006&cid=16
    三维坐标旋转。这个要有账号才能提交,还有就是Sample Input 中第二个Sample的“275”改成“270”
 
    FZU 2002 Shade of Hallelujah Mountain (2010福州regional)
    http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2002
 

  SGU 110 Dungeon
  http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=110
  三维光线反射
 
  FZU 1981 Three kingdoms (2010福州网络赛)
  http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1981
  坐标映射,我一开始用map一直TLE,只好改成不用map的代码 
 
  UVA 11275 3D Triangles
  http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=2250
  HDU 4042是这题的加强版,我使用同样的代码AC的
  对于这题题目中诡异的精度0.000001我并没有特别处理
 
  HDU 4042 Fireworks (2011北京网络赛)
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4042
  很不错的题目 (解题报告:http://hi.baidu.com/%D0%A1%CE%E4rj/blog/item/0114bb2dcd4cdef78b13991d.html)
 
  HDU 4087 ALetter to Programmers (2011 北京现场赛)
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4087
  三维旋转矩阵 + 矩阵加速
 

 

 
 

  其他一些题目:

  EOJ 283 Target Practice
  http://202.120.106.94/onlinejudge/problemshow.php?pro_id=283
  搜索 + 几何
 
  POJ 1688 Dolphin Pool
  http://poj.org/problem?id=1688
  这题有好几种做法
 
  POJ 1981 Circle and Points
  http://poj.org/problem?id=1981
  很经典的一道题目
 
  POJ 3675 Telescope
  http://poj.org/problem?id=3675
  圆和多边形的公共面积
 
  POJ 1259 The Picnic
  http://poj.org/problem?id=1259
  最大凸洞,计算几何 + DP
 
  POJ 1586 Three Sides Make a Triangle
  http://poj.org/problem?id=1586
  题目内容很简单,方法也很明显,不过想AC可不容易,精度很恶心的一题,我是看了discuss才过的
  
  HDU 3629 Convex (推荐)
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3629
  一道不错的题目,这题有两种思路:
    1)http://apps.topcoder.com/wiki/display/tc/TCO%2710+Online+Round+4
    2)http://www.owent.net/2010/09/the-35th-acmicpc-asia-regional-tianjin-site-%E2%80%94%E2%80%94-online-contest-1009-convex-%E8%A7%A3%E9%A2%98%E6%8A%A5%E5%91%8A.html
 
 
  HDU 3644 A Chocolate Manufacturer's Problem (2010杭州网络赛)
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3644
  本来想用模拟退火水一下的,结果徘徊于WA和TLE之间无法AC
 
  FZU 1973 How many stars (推荐) (2010福州网络赛)
  http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1973
  比较经典的一道题目
 
  POI2007 对称轴osi
  http://www.zybbs.org/JudgeOnline/problem.php?id=1100
  很犀利的一道题目,题意是判多边形的对称轴个数,原来做的这种题目都是用O(N^2)的复杂度来解的,
  这次O(N^2)果断不行,加随机化也过不了,最后在解题报告的指导下才搞定这题。第一次发现计算几何
  的问题居然还能用字符串的方法解。
  网上搜到的解题报告:http://hi.baidu.com/nplusnplusnplu/blog/item/d260baef2e9e9c5879f055cb.html
 
 

 

  下次再搞计算几何的时候会更加深入一些。

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