Lucas算法记录

定义：$C_{n}^{m}\equiv C_{n/p}^{m/p} * C_{n mod p}^{m mod p} (mod p)$

证明：1.由费马小定理可知$a^{p} \equiv p(mod p)$

           2.你需要知道二项式定理

           3.$\therefore (1+x)^{p} \equiv 1+x^{p} $——这个用前两个东西证就好

           4.$\therefore (1+x)^{n}$

              $=(1+x)^{(n/p) \times p} \times (1+x)^{n mod p}$

              $\equiv (1+x^{p})^{n/p} \times {1+x}^{n mod p}$

              $\equiv \sum\limits_{i=0}^{n/p} x^{pi} \times \sum\limits_{j=0}^{n mod p} x^{j}$

              $\equiv \sum\limits_{i=0}^{n/p}  \sum\limits_{j=0}^{n mod p} x^{pi+j}$

              当我们取$x^{m}$这一项时，我们可以发现左边根据二项式定理就是$C_{n}^{m}$,而右边呢，$i=m/p$，$ j=m mod p $

              $\therefore C_{n}^{m}\equiv C_{n/p}^{m/p} * C_{n mod p}^{m mod p} (mod p)$