CF1277A. Happy Birthday, Polycarp! 题解 枚举/数位DP

题目链接:http://codeforces.com/contest/1277/problem/A

题目大意:
求区间 \([1,n]\) 范围内有多少只包含一个数字的数。
比如:\(1,77,777,44,999999\) 都是只包含一个数字的数,而 \(12,11110,6969,987654321\) 这些不是。

解题思路:
本题可以采用枚举和数位DP解法来解决(当然,数位DP相对来说有些杀鸡用牛刀的感觉)。

枚举解法

首先,我们要确定,去除 \(0\) 以外,一个 \(i\) 位数最多有 \(9\) 个这样的数:

  • \(1\)位数中总共有 \(9\) 个符合要求的数:\(1,2,3,4,5,6,7,8,9\)
  • \(2\)位数中总共有 \(9\) 个符合要求的数:\(11,22,33,44,55,66,77,88,99\)
  • \(3\)位数中总共有 \(9\) 个符合要求的数:\(111,222,333,444,555,666,777,888,999\)
  • ……

因为告诉我们 \(1 \le n \le 10^9\) ,所以我们最多考虑 \(9\) 位数即可。

也就是说,所有满足要求的数只有 \(9 \times 9 = 81\) 个,我们只需要枚举这 \(81\) 个数,然后判断有多少个 \(\le n\) 即可。

实现代码如下:

#include
using namespace std;
int T, n;
int solve() {
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= 9; i ++) {
        int s = 0;
        for (int j = 0; j < 9; j ++) {
            s = s * 10 + i;
            if (s > n) break;
            cnt ++;
        }
    }
    return cnt;
}
int main() {
    cin >> T;
    while (T --) {
        cin >> n;
        cout << solve() << endl;
    }
    return 0;
}

数位DP解法

我们定义状态 \(f[pos][pre]\) 表示当

  • 点前所在的数位为第 \(pos\) 位,
  • 前一位放置的元素是 \(pre\)(如果前一位没有放置任何元素则 \(pre=0\)

时的方案总数。

并且开函数 dfs(int pos, int pre, bool limit) 用于求解:

  • 点前所在的数位为第 \(pos\) 位;
  • 前一位放置的元素是 \(pre\)(如果前一位没有放置任何元素则 \(pre=0\));
  • \(limit\) 用于表示当前是否处于闲置转态

时的方案总数。

但是最终答案因为包含 \(0\) 这个方案,所以要减去 \(1\)

实现代码如下:

#include
using namespace std;
int f[11][11], T, n, a[11];
void init() {
    memset(f, -1, sizeof(f));
}
int dfs(int pos, int pre, bool limit) {
    if (pos < 0) return 1;
    if (!limit && f[pos][pre] != -1) return f[pos][pre];
    int up = limit ? a[pos] : 9;
    int tmp = 0;
    for (int i = 0; i <= up; i ++) {
        if (pre == 0) {
            if (i == 0) tmp += dfs(pos-1, i, limit && i==up);
            else tmp += dfs(pos-1, i, limit && i==up);
        }
        else if (i == pre) tmp += dfs(pos-1, i, limit && i==up);
    }
    if (!limit) f[pos][pre] = tmp;
    return tmp;
}
int get_num(int x) {
    int pos = 0;
    while (x) {
        a[pos++] = x%10;
        x /= 10;
    }
    return dfs(pos-1, 0, true);
}
int main() {
    init();
    cin >> T;
    while (T --) {
        cin >> n;
        cout << get_num(n)-1 << endl;
    }
    return 0;
}

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