博弈论 | 红蓝眼问题

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背景

一个岛上有100名岛民，其中有5名红眼睛，95名蓝眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。

1. 他们不能照镜子之类的反光物体，不能看自己眼睛的颜色。
2. 他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。
3. 一旦有人知道了自己的眼睛颜色，他就必须在当天夜里自杀。
   注：虽然题设了有5名红眼睛岛民，但岛民们是不知道具体数字的。
   某天，有个旅行者到了这个岛上。由于不知道这里的规矩，所以他在和全岛人一起狂欢的时候，不留神就说了一句话：【你们这里有红眼睛的人】。

问题

假设这个岛上的人足够聪明，而且严格遵守宗教规则，每个人都可以做出缜密的逻辑推理。请问这个岛上将会发生什么？

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分析

问题的关键在于确定岛上红眼睛岛民的数量。如果能够确定红眼睛的岛民有多少人，那么每个红眼睛的岛民都可以确定自己的眼睛是红色，从而发生自杀行为。

设：红眼睛岛民数量=x，

当旅行者说出【你们这里有红眼睛的人】时，说明x≥1。

假设

假设1：岛上只有1名红眼睛岛民

因为只有1名红眼睛岛民，那么在这名红眼睛岛民的眼睛里，其他99名岛民都是蓝眼睛，当旅行者说出【你们这里有红眼睛的人】时，这名红眼睛岛民马上就能确定x=1，且自己就是红眼睛。所以【当天夜里唯一的红眼睛岛民就会自杀】。

假设2：岛上有2名红眼睛岛民

因为有2名红眼睛岛民，在红眼睛岛民的认知里x=1或x=2（因为自己看到了1个红眼睛岛民，但自己是不是红眼睛不得而知）。

根据假设1可知，第一天夜里不会有人自杀，因为2名红眼睛的岛民都能看到1名红眼睛的岛民，所以无法确定自己的眼睛是不是红色，故不能排除x=1的情况。

到了第二天，当红眼睛的岛民看到另外1名红眼睛岛民还活着时，就会立刻意识到那名红眼睛岛民不确定自己是不是红眼睛，因为他还看到了其他红眼睛的岛民，岛上至少还有1名红眼睛的人，即x=2（否则根据假设1，第一天夜里就会有1名红眼睛岛民自杀）。但是在自己的眼睛里，其他98个人都是蓝眼睛，故x=2，且自己就是红眼睛。所以【第2天夜里会有2名红眼睛岛民自杀】。

假设3：岛上有3名红眼睛岛民

因为有3名红眼睛岛民，在红眼睛岛民的认知里x=2或x=3。

根据假设2可知，第一天、第二天夜里不会有人自杀，因为3名红眼睛的岛民都能看到2名红眼睛的岛民，所以不能排除x=2的情况。

第三天，当红眼睛的岛民看到另外2名红眼睛的人还活着时，就会知道岛上红眼睛的人确实有3名，即x=3（否则根据假设2，另外2名红眼睛的岛民在第二天夜里就会自杀）。但是在自己的眼睛里，其他97个人都是蓝眼睛，所以自己就是第3名红眼睛岛民。所以【第3天夜里会有3名红眼睛岛民自杀】。

假设4：岛上有4名红眼睛岛民

因为有4名红眼睛岛民，在红眼睛岛民的认知里x=3或x=4。

根据假设3可知，第一天、第二天、第三天夜里不会有人自杀，因为4名红眼睛的岛民都能看到3名红眼睛的岛民，所以不能排除x=3的情况。

第四天，当红眼睛的岛民看到另外3名红眼睛的人还活着时，就会知道岛上红眼睛的人确实有4名，即x=4（否则根据假设3，另外3名红眼睛的岛民在第三天夜里就会自杀）。但是在自己的眼睛里，其他96个人都是蓝眼睛，所以自己就是第4名红眼睛岛民。所以【第4天夜里会有4名红眼睛岛民自杀】。

答案

经过以上假设，再来求解这个问题就会变得十分简单。

因为有5名红眼睛岛民，在红眼睛岛民的认知里x=4或x=5。

根据假设4可知，第一天、第二天、第三天、第四天夜里不会有人自杀，因为5名红眼睛的岛民都能看到4名红眼睛的岛民，所以不能排除x=4的情况。

第五天，当红眼睛的岛民看到另外4名红眼睛的人还活着时，就会知道岛上红眼睛的人确实有5名，即x=5（否则根据假设4，另外4名红眼睛的岛民在第四天夜里就会自杀）。但是在自己的眼睛里，其他95个人都是蓝眼睛，所以自己就是第5名红眼睛岛民。所以【第5天夜里会有5名红眼睛岛民自杀】。

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以上
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