Discarding Game CodeForces - 1250G（思维）

Discarding Game

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题意

一个人和一个电脑在玩游戏，游戏规则是

1. 游戏有 \(n\) 轮，每一轮人获得 \(a_i\)，电脑获得 \(b_i\)。
2. 当一方的分数超过 \(k\)，那一方就获胜，如果两方都超过了 \(k\)，无人获胜。
3. 当有人的分数到达 \(k\) 以后，游戏提前结束。如果游戏结束都没人分数超过 \(k\)，则双方平局，无人获胜。
4. 玩家有一个 \(RESET\) 按钮，假设人的分数为 \(x\)，电脑分数为 \(y\)，按下之后，\(x' = max(0, x-y)\)，\(y' = max(0, y-x)\) 并且 \(x'、y'\) 重新成为人和电脑的分数。

现在玩家想要知道，如果他可以获胜，他应该在那些轮按下 \(RESET\)，输出要按的次数最少的方案。

思路

首先我们可以发现：

1. \(RESET\) 按钮其实就是将人和电脑的分数减去其中的较小值。
2. 在不考虑 \(k\) 的限制下，有 \(a、b、c\) 三轮游戏，在 \(b\) 按下 \(RESET\) 后在 \(c\) 再按下 \(RESET\) 的效果和直接在 \(c\) 按下 \(RESET\) 的效果是一样的。
3. 在不考虑 \(k\) 的限制下，按下的 \(m\) 次 \(RESET\)，都可以看成到倒数第二轮按下一次，在最后一轮在按下一次。

令 \(sa\) 为 \(a\) 的前缀和，\(sb\) 为 \(b\) 的前缀和，\(w\) 为 \(sa\) 和 \(sb\) 的较小值。
如果在第 \(i\) 轮可以获胜，并且上一次按在第 \(L\) 轮，那么一定要满足以下条件：
\[ \begin{cases} sa[i]-w[L] < k\\ sb[i]-w[L] >= k \end{cases}\\ \begin{cases} sa[i]-k < w[L] \\ sb[i]-k >= w[L] \end{cases} \]
所以对于每一轮游戏，只要找到是否有满足的 \(L\)，就可以确定是否有可能获胜了。
由于 \(sa、sb、w\) 都是递增的，所以 \(i\) 增加时， \(L\) 是单调的，那么找 \(L\) 的过程就是线性的。
那么只要找到最小的 \(i\) 和对应的 \(L\) ，然后当人在前 \(L\) 轮的分数不超过 \(k\)，并且在 \(L\) 轮按一次 \(RESET\)，就可以保证在第 \(i\) 轮获胜。
由于这样找到的 \(i\) 是最小的并且前 \(i-1\) 轮都无法获胜，那么这样操作的次数一定是最少的。

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    > File Name     : G.cpp
    > Author        : Jiaaaaaaaqi
    > Created Time  : Sun 03 Nov 2019 10:37:18 PM CST
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