半群与群(Semigroups and Groups)
半群(Semigroup)
非空集合S 和 定义在集合S上的具有结合律(封闭性显然)的二元运算\(*\)组成了一个半群(S, *);
- 通常记为(S, *)或者S
- a*b称为a和b的积
- 如果\(*\)具有交换律,那么(S, *)称为交换群(阿贝尔群)
如:(Z, +); (P(S), ∪); (Z, -)...
Note:P(S)指的是S的全集,如S={1, 2, 3},那么P(S) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
一些半群的例子:
定理1:
单位元
单位元若存在,则必唯一
独异点(Monoid),含幺半群
半群(S, *)中存在单位元,则称为独异点
子半群(Subsemigroup)
T是S的子集,并且(T, *)同样满足半群定义
子独异点(Submonoid)
T是S的子集,并且(T, *)同样满足独异点定义,同时e∈T
显然,半群\((S, *)\)本身也是S的子半群;独异点\((S, *)\)本身也是S的子独异点;
T = {e} 一定是群\((S, *)\)的子独异点
幂(Powers)
同构映射(Isomorphism)
设有两个半群\((S, *)和(T, *^{'})\)
设有函数\(f: S -> T\)
如果
- f是从S->T的一一对应(双射)的函数
- 对任意a,b∈S, 均有\(f(a*b) = f(a)*^{'}f(b)\)
则称f是从S到T的同构映射,简称同构
Note:如果f是从S->T的同构,即f是从S->T的一一对应的函数,那么\(f^{-1}\)必定存在,并且\(f^{-1}\)是从T->S的一一对应的函数(并且一定是同构,下证)
构造同构/判断是否为同构的一般步骤:
定理2:
如果S和T是独异点,且幺元分别为\(e,e^{'}\),并且存在\(f:S->T\)是从S到T的同构映射,那么:
- \(f(e) = e^{'}\)
Note:显然,如果\((S, *)\)有独异点,但\((T, *^{'})\)没有独异点,那么必定不存在从S->T的同构(常用于证明不存在同构)
同态映射(Homomorphism)
设有两个半群\((S, *)和(T, *^{'})\)
设有函数\(f: S -> T\)
如果
Note:同构和同态均满足:像点的乘积等于乘积的像点
定理3:
如果S和T是独异点,且幺元分别为\(e,e^{'}\),并且存在\(f:S->T\)是从S到T的满同态映射,那么:
- \(f(e) = e^{'}\)
f必须是满同态才行,因为假如T中有个元素a没被映射,你凭啥说e'a=a?
定理4:
如果S和T是半群,并且存在\(f:S->T\)是从S到T的同态映射,并且假设\(S^{'}\)是(S, *)的子半群,那么:
- \(S^{'}的像f(S^{'})也是(T, *^{'})\)的子半群
定理5:
如果S是交换半群,T是半群,并且存在\(f:S->T\)是从S到T的满同态映射,那么:
- \((T, *^{'})\)也是交换半群
半群直积和商半群(Products and Quotients of Semigroups)
定理1:
两个半群的笛卡尔乘积也是半群
\((S, *)和(T, *^{'})是半群,它们的笛卡尔乘积(S×T, *^{''})也是半群,其中二元运算*^{''}定义为: (s_1, t_1)*^{''}(s_2, t_2) = (s_1*s_2, t_1*^{'}t_2)\)
同样的,两个独异点的笛卡尔乘积也是独异点且其幺元为\((e_S, e_T)\)
同余关系(Congruence relation)
定义在群\((S, *)\)上的等价关系R,如果满足:
任意a R a' 并且 b R b' ==> \((a*b) R (a'*b')\)
那么我们说R是同余关系
Note:在S中等价于一个关系的所有元素则被划分为一个等价类,对于代数结构(群)也是如此
- 我们让[a] = R(a)来表示包含元素a的等价类
- S/R表示所有等价类的集合
定理2:
令R是定义在半群(S, *)上的同余关系R
下定义关系 口 :其中, 口([a], [b]) = [a] 口 [b] = [a*b],显然 口 是从\(S/R×S/R -> S/R\) 的一个函数
(S/R, 口)是一个半群,并且S/R称为商半群(quotient semigroup或者factor semigroup)
因为 口 对于S/R是一个二元运算并且满足结合律
推论:
如果(S, *)是独异点,那么(S/R, 口)也是独异点(商独异点?),其幺元为[e]
定理3:
令R为定义在半群(S, *)上的同余关系,(S/R 口)是相应的商半群,那么下面这个函数:
是一个满同态(onto homomorphism),也称为自然同态(natural homomorphism)
证明如下:
同态基本定理(Fundamental Homomorphism Theorem)
定理内容:
设f:S -> T是半群\((S, *)\)到半群(T, *')的一个同态,设R是定义在S上的一个关系且定义为对于S中的任意a和b,a R b 当且仅当 f(a) = f(b),那么:
- (a). R是一个同余关系
- (b). (T, *')和商半群(S/R, 口)是同构的