因为其重要性和划时代意义，Euler Formula(欧拉公式)有着很多了不起的别称，例如“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”等等。这个发表于公元1748年的伟大数学公式将5个微妙又看似无关的数学符号π、e、i、0、1紧密地联系了起来，让所有从事相关科学研究的人们为之痴迷。
法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾这样评价欧拉对于数学的贡献：“读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师”。
莱昂纳德·欧拉简介
莱昂纳德·欧拉(Leonhard Euler) 1707年生于瑞士巴塞尔，他的父亲保罗是一位牧师，他父亲原本也想将欧拉培养为一名牧师，但巧的是他的父亲与伯努利家族关系很不错，伯努利家族是17〜18世纪瑞士的一个赫赫有名的家族，其中出了很多著名的数理科学家，伯努利原籍比利时安特卫普。1583年遭天主教迫害迁往德国法兰克福，最后定居瑞士巴塞尔。其中以雅可比·伯努利（Jakob Bernoulli），约翰·伯努利（Johann Bernoulli），丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）这三人的成就最大。其中，约翰·伯努利看出了幼年欧拉的数学天赋，并劝说保罗，如果让欧拉从事数学研究领域的工作，将来一定会有更加广阔的未来。
欧拉13岁时就进入了巴塞尔大学，主修哲学和法律，但在每周星期六下午便跟当时欧洲最优秀的数学家约翰·伯努利学习数学。同一时期，约翰·伯努利的两个儿子——丹尼尔·伯努利和尼古拉·伯努利（Nicolas Bernoulli）——在位于俄国圣彼得堡的俄国皇家科学院工作，在尼古拉因阑尾炎于1726年7月去世后，丹尼尔便接替了他在数学/物理学所的职位，同时推荐欧拉到数学/物理学所工作。
考虑到当时俄国的持续的动乱，欧拉在1741年离开了圣彼得堡，到柏林科学院就职。
在柏林，他出版了他最有名的两部作品：一部关于函数方面出版于1748年的《无穷小分析引论》和一部是关于微积分出版于1755年的《微积分概论》。在《无穷小分析引论》(Introduction to Analysis of the Infinity)中，他提出了著名的“欧拉公式”。
欧拉公式的推导
欧拉公式的一种通用写法是：
其将复指数与正弦、余弦函数联系了起来。那么它是如何做到的？能不能更加直观一点呢？通常书本上给出的都是欧拉公式的验证而不是推导，例如，很多人喜欢用自然指数函数的泰勒展开和三角函数的泰勒展开作对比，最后得出两边相等，但这只是验证而非真正的推导，再例如《费曼物理学讲义》里面的计算也是如此。
它真的就这样神奇、这么难以直观表述么？我们试着用直观的方式给予推导！
需要记住的一点：Euler方程左右两边都可以看作是在描述一个在圆上的位置或者运动。
如果我们用三角函数去描述圆心在复平面原点处的单位圆上的圆周运动，当圆弧角为x弧度时，如图有：
cos(x)为当前圆周运动位置的横坐标
sin(x)为当前圆周运动位置的纵坐标
那么如果用复数cos(x)+isin(x)表示即可用一个式子描述单位圆周上点的运动，因为复数是二维的。因此，欧拉公式的右边(cos(x)+isin(x))描述的是包含虚数的圆周运动。
用复数来描述坐标较好理解，那么欧拉公式左边的虚指数又代表的是什么呢？
先举个与实指数相关的例子，当看到3^4时，你可以把它看作是4个3连乘，但也可以换一个角度看。因为作为底数来说，e作为自然底数是最自然的底数，是所有连续增长过程都共有的基本增长率，其表示的是单位数量在经过单位时间增长率为100%的连续复利增值后的最终结果，“连续复利”的定义请见《自然底数e怎么就“自然”了？》。我们将其改写为e^ln(3)·4其数学内涵可以解释为：单位数量在单位时间增长率为ln(3)的连续复利情况下，经过4个单位时间后的最终结果。
跳开数值本身的大小问题，我们把“乘以实指数”看成是对初始值（这里的初始值指的是复数）的一种“增长”或者说是“推动”作用，例如实数3，可将其看做是：单位时间增长率为ln(3)≈1.1，初始值以该增长率连续复利增长，经过单位时间后最终得到数值3。由于这里先只考虑实数的增长作用，所以这种“增长”或“推动”是沿着复数的初始方向进行的（复数可以看作是复平面上的矢量，因此具有方向属性）。
而虚指数所带来的增长作用就和实指数有所不同，虚指数的增长作用的方向与复数的方向垂直，且随着数值的变化始终保持着这种垂直的关系，详情请见《虚数不“虚”》。这种增长方式并不改变数的大小，而只改变复数的方向！例如，让任何数乘以虚数i，都不会改变数的大小，而是改变数的方向。
在《自然底数e怎么就“自然”了？》中已经给出了自然底数e的定义：
不过在上式中，我们假设的增长率为实数，但是，如果增长率为虚数呢？
其增长的示意图如下图所示：
现在，“新的增长率”其实一直是沿着复数的垂直方向增加。并且这并不会改变复数的长度，但有人会提出质疑，因为上图所示的示意图是由一个个直角三角形组成，斜边当然比直角边更大。但要知道，我们正在处理的是一个极限问题，当n→∞（其实n可以看作到达最后结果所经历的增长步数，这个增长步数是我们认为设定的，上图中的每个蓝色的直角边都代表一步），则蓝色的直角边将越接近斜边。最终将得到的结果是：复数长度不变的连续旋转。这是处理其与正弦、余弦关系的核心概念，当复数的增量始终与复数的方向保持垂直，得到的轨迹将是一个圆！
用公式证明一下这个过程似乎更具有说服力：
对于上式，如果n=1，则为1+i；（注意：所有模长增量相乘得到最终模长；所有转角增量相加得到最终转角）
如果n=2，则为(1+i/2)^1/2；
即将n=1的一步完成增长变为了n=2的两步完成增长。
那么当n→∞时，就变成了连续增长问题；
实际上就是复数1+i·0逆时针旋转，每一小步的增长方向都和复数指向方向垂直，且保证模长不变，因此极限状态就是圆周运动，最后转动角度为1弧度。
即ei=cos1+isin1。
那对于更为普遍e^xi呢？当n→∞时；
实际上就是复数1+i·0逆时针旋转，每一小步的转动方向都和复数指向方向垂直，且保证模长不变，因此极限状态也是圆周运动，最后转动角度为x弧度，这与用三角函数法定义单位圆周上的点是完全等效的（注意：这里的x都采用弧度制）。
即e^xi=cosx+isinx！
只要令x=π，就有e^πi=cosπ+isinπ= -1或者e^πi+1=0.
Reference
[1] Leonhard Euler, Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
[2] Russian Academy of Sciences, https://en.wikipedia.org/wiki/Russian_Academy_of_Sciences
[3] Berlin-Brandenburg Academy of Sciences and Humanities, https://en.wikipedia.org/wiki/Berlin-Brandenburg_Academy_of_Sciences_and_Humanities
[4] Intuitive Understanding Of Euler’s Formula, https://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-eulers-formula/
(Sample picture source：betterexplained.com)
