探秘幻方

幻方的历史

幻方是比数独历史更悠久的数学迷题。《易·系辞上》有言："河出图，洛出书，圣人则之"。洛书中有黑白点串成的数字，白点组成奇数，黑点组成偶数，这些数字为1~9，共9个自然数，横，竖，斜三个数相加和都是15。洛书实际上是一个三阶幻方。幻方是我国古代一种传统游戏，多见于官府、学堂。它是将从1到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。

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4	9	2
3	5	7
8	1	6

填写幻方的口诀

记得儿时曾听过这样一个口诀，我们可以轻松把1至9共9个数字填到九宫格中，让每一行、每一列和对角线上的三个数字之和都相等。口诀如下：

1 填上行正中央，
依次斜填切莫忘,
上出框界往下写,
右出框时左边放,
重复便在下格填,
出角重复一个样.

8	1	6
3	5	7
4	9	2

与前面的填法第一行与第三行交换了一下顺序。

那么如果要填的数字不是1到9，应该怎么办呢?

三阶幻方的规律

假设三阶幻方如下：

a	b	c
d	e	f
g	h	i

规律1：三阶幻方的幻和（t）是中心数e的3倍。

根据幻方横、竖、斜数字和相等的特点，不妨设此和为t，则
a+b+c＝d+e+f＝g+h+i＝a+e+i＝c+e+g＝t，
于是
2(a+b+c+d+e+f+g+h+i)＝3(a+e+i+c+e+g)＝6t
化简后得
2b+2d+2f+2h＝a+4e+i+c+g
2(b+h)+2(d+f)=(a+e+i)+2e+(c+e+g)
2(t-e)+2(t-e)＝2t+2e
2t＝6e
t＝3e

即t＝3e

规律2：三阶幻方一角上的数字（如a）的2倍等于其对角线上对角数字（即i）的相邻两个数字（即h、f）的和。

因为 a+i＝2e,c+g＝2e
所以
h+f＝3e-g-i+3e-c-i
＝6e-g-c-2i
＝4e-2i
＝2a
即2a＝h+f

还有一种方法可以推出这个结论：
如下图所示，用蓝色线上的数之和应等于黄色线上的数之和:

更简洁的推导

(a+e+i)+(a+b+c)＝(b+e+h)+(c+f+i)
消去重复项，得
2a=h+f
这个规律，往往是三阶幻方的解题钥匙。

举一个例子

请下面这个幻方中填写合适的数字。

_	_	7
10	6	_
_	_	_

我们用上面的规律，得到h=2a-f=2×7-10=4
e=6，所以幻和等于3e=18，剩下的工作就是简单的加减法了。经过计算，结果如下：

3	8	7
10	6	2
5	4	9

这道题来自人教版小学课本，原题多给出了一个条件，就是幻和是18，大大简化了题目的难度。我们如果掌握了上面的规律，会知道中心的数e等于6，幻和必为18。所以只需要知道中心数字或幻和二者之一即可。

再举一例

在下图的9个方格中，每行每列以及每条对角线上
个数的和都相等，则x+y+a+b+c+d=？

15	a	b
4	c	d
x	12	y

运用上面规律，得

d=15×2-12=18，
c=(4+d)/2=(4+18)/2=11
幻和=33
x+y+a+b+c+d=33×3-15-4-12=68