循环神经网络 (Recurrent Neural Network，RNN) 是一类具有短期记忆能力的神经网络，因而常用于序列建模。本篇先总结 RNN 的基本概念，以及其训练中时常遇到梯度爆炸和梯度消失问题，再引出 RNN 的两个主流变种 —— LSTM 和 GRU。
Vanilla RNN
Vanilla RNN 的主体结构：
上图中 \(\bf{X, h, y}\) 都是向量，公式如下：
\[ % \]
其中 \(\textbf{W}_{hx} \in \mathbb{R}^{h \times x}, \; \textbf{W}_{hh} \in \mathbb{R}^{h \times h}, \; \textbf{W}_{yh} \in \mathbb{R}^{y \times h}, \; \textbf{b}_{h} \in \mathbb{R}^{h}, \; \textbf{b}_{y} \in \mathbb{R}^{y}\)
\((2a)\) 式中的两个矩阵 \(\mathbf{W}\) 可以合并：
\[ \begin{align*} \textbf{h}_{t} &= f\left(\textbf{W}_{hx}\textbf{x}_{t} + \textbf{W}_{hh}\textbf{h}_{t-1} + \textbf{b}_{h}\right) \\ & = f\left(\left(\textbf{W}_{hx}, \textbf{W}_{hh}\right) \begin{pmatrix} \textbf{x}_t \\ \textbf{h}_{t-1} \end{pmatrix} + \textbf{b}_{h}\right) \\ & = f\left(\textbf{W} \begin{pmatrix} \textbf{x}_t \\ \textbf{h}_{t-1} \end{pmatrix} + \textbf{b}_{h}\right) \end{align*} \]
注意到在计算时，每一 time step 中使用的参数 \(\textbf{W}, \; \textbf{b}\) 是一样的，也就是说每个步骤的参数都是共享的，这是RNN的重要特点。
和普通的全连接层相比，RNN 除了输入 \(\textbf{x}_t\) 外，还有输入隐藏层上一节点 \(\mathbf{h}_{t-1}\) ，RNN 每一层的输出就是这两个输入用矩阵 \(\textbf{W}_{hx}\)，\(\textbf{W}_{hh}\)和激活函数进行组合的结果。从 \((2a)\) 式可以看出 \(\textbf{x}_t\) 和 \(\mathbf{h}_{t-1}\) 都是与 \(\textbf{h}_t\) 全连接的，下图形象展示了各个时间节点 RNN 隐藏层记忆的变化。随着时间流逝，最初的蓝色结点保留地越来越少，这意味着RNN对于长时记忆的困难。
Vanishing & Exploding Gradient Problems
RNN 对于长时记忆的困难主要来源于梯度爆炸 / 消失问题，下面进行说明。RNN 中 Loss 的计算图示例：
总的 Loss 是每个 time step 的加和 ： \(\mathcal{\large{L}} (\hat{\textbf{y}}, \textbf{y}) = \sum_{t = 1}^{T} \mathcal{ \large{L} }(\hat{\textbf{y}_t}, \textbf{y}_{t})\)
由 backpropagation through time (BPTT) 算法，参数的梯度为：
\[ \frac{\partial \boldsymbol{\mathcal{L}}}{\partial \textbf{W}} = \sum_{t=1}^{T} \frac{\partial \boldsymbol{\mathcal{L}}_{t}}{\partial \textbf{W}} = \sum_{t=1}^{T} \frac{\partial \boldsymbol{\mathcal{L}}_t}{\partial \textbf{y}_{t}} \frac{\partial \textbf{y}_{t}}{\partial \textbf{h}_{t}} \overbrace{\frac{\partial \textbf{h}_{t}}{\partial \textbf{h}_{k}}}^{ \bigstar } \frac{\partial \textbf{h}_{k}}{\partial \textbf{W}} \]
其中 \(\frac{\partial \textbf{h}_{t}}{\partial \textbf{h}_{k}}\) 包含一系列 \(\text{Jacobian}\) 矩阵，
\[ \frac{\partial \textbf{h}_{t}}{\partial \textbf{h}_{k}} = \frac{\partial \textbf{h}_{t}}{\partial \textbf{h}_{t-1}} \frac{\partial \textbf{h}_{t-1}}{\partial \textbf{h}_{t-2}} \cdots \frac{\partial \textbf{h}_{k+1}}{\partial \textbf{h}_{k}} = \prod_{i=k+1}^{t} \frac{\partial \textbf{h}_{i}}{\partial \textbf{h}_{i-1}} \]
由于 RNN 中每个 time step 都是用相同的 \(\textbf{W}\) ，所以由 \((2a)\) 式可得：
\[ \prod_{i=k+1}^{t} \frac{\partial \textbf{h}_{i}}{\partial \textbf{h}_{i-1}} = \prod_{i=k+1}^{t} \textbf{W}^\top \text{diag} \left[ f'\left(\textbf{h}_{i-1}\right) \right] \]
由于 \(\textbf{W}_{hh} \in \mathbb{R}^{h \times h}\) 为方阵，对其进行特征值分解：
\[ \mathbf{W} = \mathbf{V} \, \text{diag}(\boldsymbol{\lambda}) \, \mathbf{V}^{-1} \]
由于上式是连乘 \(\text{t}\) 次 \(\mathbf{W}\) :
\[ \mathbf{W}^t = (\mathbf{V} \, \text{diag}(\boldsymbol{\lambda}) \, \mathbf{V}^{-1})^t = \mathbf{V} \, \text{diag}(\boldsymbol{\lambda})^t \, \mathbf{V}^{-1} \]
连乘的次数多了之后，则若最大的特征值 \(\lambda >1\) ，会产生梯度爆炸； \(\lambda < 1\) ，则会产生梯度消失 。不论哪种情况，都会导致模型难以学到有用的模式。
下左图显示一个 time step 中 tanh 函数的计算结果，右图显示整个神经网络的计算结果，可以清楚地看到哪个区域最容易产生梯度爆炸/消失问题。
梯度爆炸的解决办法：
(1) Truncated Backpropagation through time：每次只 BP 固定的 time step 数，类似于 mini-batch SGD。缺点是丧失了长距离记忆的能力。
(2) Clipping Gradients： 当梯度超过一定的 threshold 后，就进行 element-wise 的裁剪，该方法的缺点是又引入了一个新的参数 threshold。同时该方法也可视为一种基于瞬时梯度大小来自适应 learning rate 的方法：
\[ \text{if} \quad \lVert \textbf{g} \rVert \ge \text{threshold} \\[1ex] \textbf{g} \leftarrow \frac{\text{threshold}}{\lVert \textbf{g} \rVert} \textbf{g} \]
梯度消失的解决办法
(1) 使用 LSTM、GRU等升级版 RNN，使用各种 gates 控制信息的流通。
(2) 在这篇论文 ( https://arxiv.org/pdf/1602.06662.pdf ) 中提出将权重矩阵 \(\textbf{W}\) 初始化为正交矩阵。正交矩阵有如下性质：\(A^T A =A A^T = I, \; A^T = A^{-1}\)， 正交矩阵的特征值的绝对值为 \(\text{1}\) 。证明如下， 对矩阵 \(A\) 有：
\[ \begin{align*} & A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \\[1ex] ||A \mathbf{v}||^2& = (A \mathbf{v})^\text{T} (A \mathbf{v}) \\ &= \mathbf{v}^\text{T}A ^{\text{T}}A \mathbf{v} \\ & = \mathbf{v}^{\text{T}}\mathbf{v} \\ & = ||\mathbf{v}||^2 \\ & = |\lambda|^2 ||\mathbf{v}||^2 \end{align*} \]
由于 \(\mathbf{v}\) 为特征向量，\(\mathbf{v} \neq 0\) ，所以 \(|\lambda| = 1\) ，这样连乘之后 \(\lambda^t\) 不会出现越来越小的情况。
(3) 反转输入序列。像在机器翻译中使用 seq2seq 模型，若使用正常序列输入，则输入序列的第一个词和输出序列的第一个词相距较远，难以学到长期依赖。将输入序列反向后，输入序列的第一个词就会和输出序列的第一个词非常接近，二者的相互关系也就比较容易学习了。这样模型可以先学前几个词的短期依赖，再学后面词的长期依赖关系。见下图正常输入顺序是 \(|\text{ABC}|\)，反向是 \(|\text{CBA}|\) ，则 \(\text{A}\) 与第一个输出词 \(\text{W}\) 接近：
LSTM
虽然 Vanilla RNN 理论上可以建立长时间间隔状态之间的依赖关系，但由于梯度爆炸或消失问题，实际上只能学到短期依赖关系。为了学到长期依赖关系，LSTM 中引入了门控机制来控制信息的累计速度，包括有选择地加入新的信息，并有选择地遗忘之前累计的信息，整个 LSTM 单元结构如下图所示：
\[ \begin{align} \text{input gate}&: \quad \textbf{i}_t = \sigma(\textbf{W}_i\textbf{x}_t + \textbf{U}_i\textbf{h}_{t-1} + \textbf{b}_i)\tag{1} \\ \text{forget gate}&: \quad \textbf{f}_t = \sigma(\textbf{W}_f\textbf{x}_t + \textbf{U}_f\textbf{h}_{t-1} + \textbf{b}_f) \tag{2}\\ \text{output gate}&: \quad \textbf{o}_t = \sigma(\textbf{W}_o\textbf{x}_t + \textbf{U}_o\textbf{h}_{t-1} + \textbf{b}_o) \tag{3}\\ \text{new memory cell}&: \quad \tilde{\textbf{c}}_t = \text{tanh}(\textbf{W}_c\textbf{x}_t + \textbf{U}_c\textbf{h}_{t-1} + \textbf{b}_c) \tag{4}\\ \text{final memory cell}& : \quad \textbf{c}_t = \textbf{f}_t \odot \textbf{c}_{t-1} + \textbf{i}_t \odot \tilde{\textbf{c}}_t \tag{5}\\ \text{final hidden state} &: \quad \textbf{h}_t= \textbf{o}_t \odot \text{tanh}(\textbf{c}_t) \tag{6} \end{align} \]
式 $(1) \sim (4) $ 的输入都一样，因而可以合并：
\[ \begin{pmatrix} \textbf{i}_t \\ \textbf{f}_{t} \\ \textbf{o}_t \\ \tilde{\textbf{c}}_t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma \\ \sigma \\ \sigma \\ \text{tanh} \end{pmatrix} \left(\textbf{W} \begin{bmatrix} \textbf{x}_t \\ \textbf{h}_{t-1} \end{bmatrix} + \textbf{b} \right) \]
$\tilde{\textbf{c}}_t $ 为时刻 t 的候选状态，\(\textbf{i}_t\) 控制 \(\tilde{\textbf{c}}_t\) 中有多少新信息需要保存，\(\textbf{f}_{t}\) 控制上一时刻的内部状态 \(\textbf{c}_{t-1}\) 需要遗忘多少信息，\(\textbf{o}_t\) 控制当前时刻的内部状态 \(\textbf{c}_t\) 有多少信息需要输出给外部状态 \(\textbf{h}_t\) 。
下表显示 forget gate 和 input gate 的关系，可以看出 forget gate 其实更应该被称为 “remember gate”， 因为其开启时之前的记忆信息 \(\textbf{c}_{t-1}\) 才会被保留，关闭时则会遗忘所有：
| forget gate | input gate | result |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 保留上一时刻的状态 \(\textbf{c}_{t-1}\) |
| 1 | 1 | 保留上一时刻 \(\textbf{c}_{t-1}\) 和添加新信息 \(\tilde{\textbf{c}}_t\) |
| 0 | 1 | 清空历史信息，引入新信息 \(\tilde{\textbf{c}}_t\) |
| 0 | 0 | 清空所有新旧信息 |
对比 Vanilla RNN，可以发现在时刻 t，Vanilla RNN 通过 \(\textbf{h}_t\) 来保存和传递信息，上文已分析了如果时间间隔较大容易产生梯度消失的问题。 LSTM 则通过记忆单元 \(\textbf{c}_t\) 来传递信息，通过 \(\textbf{i}_t\) 和 \(\textbf{f}_{t}\) 的调控，\(\textbf{c}_t\) 可以在 t 时刻捕捉到某个关键信息，并有能力将此关键信息保存一定的时间间隔。
原始的 LSTM 中是没有 forget gate 的，即：
\[ \textbf{c}_t = \textbf{c}_{t-1} + \textbf{i}_t \odot \tilde{\textbf{c}}_t \]
这样 \(\frac{\partial \textbf{c}_t}{\partial \textbf{c}_{t-1}}\) 恒为 \(\text{1}\) 。但是这样 \(\textbf{c}_t\) 会不断增大，容易饱和从而降低模型性能。后来引入了 forget gate ，则梯度变为 \(\textbf{f}_{t}\) ，事实上连乘多个 \(\textbf{f}_{t} \in (0,1)\) 同样会导致梯度消失，但是 LSTM 的一个初始化技巧就是将 forget gate 的 bias 置为正数（例如 1 或者 5，如 tensorflow 中的默认值就是 \(1.0\) ），这样一来模型刚开始训练时 forget gate 的值都接近 1，不会发生梯度消失 (反之若 forget gate 的初始值过小则意味着前一时刻的大部分信息都丢失了，这样很难捕捉到长距离依赖关系)。 随着训练过程的进行，forget gate 就不再恒为 1 了。不过，一个训好的模型里各个 gate 值往往不是在 [0, 1] 这个区间里，而是要么 0 要么 1，很少有类似 0.5 这样的中间值，其实相当于一个二元的开关。假如在某个序列里，forget gate 全是 1，那么梯度不会消失；某一个 forget gate 是 0，模型选择遗忘上一时刻的信息。
LSTM 的一种变体增加 peephole 连接，这样三个 gate 不仅依赖于 \(\textbf{x}_t\) 和 \(\textbf{h}_{t-1}\)，也依赖于记忆单元 \(\textbf{c}\) ：
\[ \begin{align*} \text{input gate}&: \quad \textbf{i}_t = \sigma(\textbf{W}_i\textbf{x}_t + \textbf{U}_i\textbf{h}_{t-1} + \textbf{V}_i\textbf{c}_{t-1} + \textbf{b}_i) \\ \text{forget gate}&: \quad \textbf{f}_t = \sigma(\textbf{W}_f\textbf{x}_t + \textbf{U}_f\textbf{h}_{t-1} + \textbf{V}_f\textbf{c}_{t-1} +\textbf{b}_f) \\ \text{output gate}&: \quad \textbf{o}_t = \sigma(\textbf{W}_o\textbf{x}_t + \textbf{U}_o\textbf{h}_{t-1} + \textbf{V}_o\textbf{c}_{t} +\textbf{b}_o) \\ \end{align*} \]
注意 input gate 和 forget gate 连接的是 \(\textbf{c}_{t-1}\) ，而 output gate 连接的是 \(\textbf{c}_t\) 。下图来自 《LSTM: A Search Space Odyssey》，标注了 peephole 连接的样貌。
GRU
相比于 Vanilla RNN (每个 time step 有一个输入 \(\textbf{x}_t\) )，从上面的 \((1) \sim (4)\) 式可以看出 一个 LSTM 单元有四个输入 (如下图，不考虑 peephole) ，因而参数是 Vanilla RNN 的四倍，带来的结果是训练起来很慢，因而在2014年 Cho 等人提出了 GRU ，对 LSTM 进行了简化，在不影响效果的前提下加快了训练速度。
\(\large\scr{LSTM:}\)
\[ \normalsize \begin{align} \text{input gate}&: \quad \textbf{i}_t = \sigma(\textbf{W}_i\textbf{x}_t + \textbf{U}_i\textbf{h}_{t-1} + \textbf{b}_i)\tag{1} \\ \text{forget gate}&: \quad \textbf{f}_t = \sigma(\textbf{W}_f\textbf{x}_t + \textbf{U}_f\textbf{h}_{t-1} + \textbf{b}_f) \tag{2}\\ \text{output gate}&: \quad \textbf{o}_t = \sigma(\textbf{W}_o\textbf{x}_t + \textbf{U}_o\textbf{h}_{t-1} + \textbf{b}_o) \tag{3}\\ \text{new memory cell}&: \quad \tilde{\textbf{c}}_t = \text{tanh}(\textbf{W}_c\textbf{x}_t + \textbf{U}_c\textbf{h}_{t-1} + \textbf{b}_c) \tag{4}\\ \text{final memory cell}& : \quad \textbf{c}_t = \textbf{f}_t \odot \textbf{c}_{t-1} + \textbf{i}_t \odot \tilde{\textbf{c}}_t \tag{5}\\ \text{final hidden state} &: \quad \textbf{h}_t= \textbf{o}_t \odot \text{tanh}(\textbf{c}_t) \tag{6} \end{align} \]
在式 \((5)\) 中 forget gate 和 input gate 是互补关系，因而比较冗余，GRU 将其合并为一个 update gate。同时 GRU 也不引入额外的记忆单元 (LSTM 中的 \(\textbf{c}\)) ，而是直接在当前状态 \(\textbf{h}_t\) 和历史状态 \(\textbf{h}_{t-1}\) 之间建立线性依赖关系。
\(\large\scr{GRU:}\)
\[ \normalsize \begin{align} \text{reset gate}&: \quad \textbf{r}_t = \sigma(\textbf{W}_r\textbf{x}_t + \textbf{U}_r\textbf{h}_{t-1} + \textbf{b}_r)\tag{7} \\ \text{update gate}&: \quad \textbf{z}_t = \sigma(\textbf{W}_z\textbf{x}_t + \textbf{U}_z\textbf{h}_{t-1} + \textbf{b}_z)\tag{8} \\ \text{new memory cell}&: \quad \tilde{\textbf{h}}_t = \text{tanh}(\textbf{W}_h\textbf{x}_t + \textbf{r}_t \odot (\textbf{U}_h\textbf{h}_{t-1}) + \textbf{b}_h) \tag{9}\\ \text{final hidden state}&: \quad \textbf{h}_t = \textbf{z}_t \odot \textbf{h}_{t-1} + (1 - \textbf{z}_t) \odot \tilde{\textbf{h}}_t \tag{10} \end{align} \]
$ \tilde{\textbf{h}}_t $ 为时刻 t 的候选状态，\(\textbf{r}_t\) 控制 $ \tilde{\textbf{h}}_t $ 有多少依赖于上一时刻的状态 \(\textbf{h}_{t-1}\) ，如果 \(\textbf{r}_t = 1\) ，则式 \((9)\) 与 Vanilla RNN 一致，对于短依赖的 GRU 单元，reset gate 通常会更新频繁。\(\textbf{z}_t\) 控制当前的内部状态 \(\textbf{h}_t\) 中有多少来自于上一时刻的 \(\textbf{h}_{t-1}\) 。如果 \(\textbf{z}_t = 1\) ，则会每步都传递同样的信息，和当前输入 \(\textbf{x}_t\) 无关。
另一方面看，\(\textbf{r}_t\) 与 LSTM 中的 \(\textbf{o}_t\) 角色有些类似，因为将上面的 \((6)\) 式代入 \((4)\) 式可以得到：
\[ \begin{align*} \tilde{\textbf{c}}_t &= \text{tanh}(\textbf{W}_c\textbf{x}_t + \textbf{U}_c\textbf{h}_{t-1} + \textbf{b}_c) \\ \textbf{h}_t &= \textbf{o}_t \odot \text{tanh}(\textbf{c}_t) \end{align*} \quad \Longrightarrow \quad \tilde{\textbf{c}}_t = \text{tanh}(\textbf{W}_c\textbf{x}_t + \textbf{U}_c \left(\textbf{o}_{t-1} \odot \text{tanh}(\textbf{c}_{t-1})\right) + \textbf{b}_c) \]
最后是 cs224n 中提出的 RNN 训练 tips：
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