密码学 - RSA

何为密码学？

这里的密码，不是我们的登录密码。密码学是指研究信息加密，破解密码的技术科学。密码学的起源可追溯到2000年前。而当今的密码学是以数学为基础的。

*在1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：加密、解密使用同一种算法。在交互数据的时候，彼此通信的双方就必须将规则告诉对方，否则没法解密。那么加密和解密的规则（简称密钥），它保护就显得尤其重要。传递密钥就成为了最大的隐患。这种加密方式被成为对称加密算法（symmetric encryption algorithm）

*1976年，两位美国计算机学家迪菲（W.Diffie）、赫尔曼（M.Hellman）提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成密钥交换。这被称为“迪菲赫尔曼密钥交换”算法。开创了密码学研究的新方向

*1977年三位麻省理工学院的数学家 罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起设计了一种算法，可以实现非对称加密。这个算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。

RSA的数学原理

在上世纪70年代出现了一种加密算法，拥有两个密钥：公开密钥简称公钥（publickey）和私有密钥简称私钥（privatekey）。公钥加密，私钥解密；私钥加密，公钥解密。这个加密算法就是伟大的RSA。

离散对数问题

在整数中，离散对数（英语：Discrete logarithm）是一种基于同余运算和原根的一种对数运算。

而在实数中对数的定义是指对于给定的a和b。有一个x，使得。相同地在任何群G中可为所有整数k定义一个幂数为，而离散对数是指使得的整数k。

离散对数在一些特殊情况下可以快速计算。然而，通常没有具非常效率的方法来计算它们。公钥密码学中几个重要算法的基础，是假设寻找离散对数的问题解，在仔细选择过的群中，并不存在有效率的求解算法。

定义

当模n有原根时，设l为模m的一个原根，则：

时：

此处的为x以整数l为底，模时的离散对数值。

性质

欧拉函数（）

对于正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中于n互质的数的数目。

特点

*当n是质数的时候，

*如果n可以分解为两个互质的整数之积，如 则 

根据这两点，可得：

如果N是两个质数P1和P2的乘积，则

欧拉定理

如果两个整数m和n互质，那么m的次方减1，可以被n整除

欧拉定理

费马小定理

欧拉定理的特殊情况：如果两个正整数m和n互质，而且n为质数！那么结果就是n-1

费马小定理

公式转换

公式转换

RSA的诞生

迪菲赫尔曼密钥交换（Diffie–Hellman–Merkle key exchange）

迪菲赫尔曼密钥交换

RSA原理

RSA算法

说明：

1、n会非常大，长度一般为1024个二进制位。

2、由于需要求出，所以根据欧拉函数特点，最简单的方式n由两个质数相乘得到：质数P1，P2【】

3、最终由得到e和d。

总共生成6个数字：p1，p2，n，，e，d

安全：

除了公钥n和e，其余4个数字是不公开的。

目前破解RSA得到d的方式：

1、想要求出私钥d。由于。要知道e和。

2、e是知道的，但是要求得，就必须知道P1和P2。

3、由于。只有将n进行因数分解才能算出。

RSA文件密钥创建

在Mac的终端下，可以直接操作OpenSSL进行RSA命令的执行。

Mac系统内置的OpenSSL(开源加密库)

常用指令

genrsa - 生成并输入一个RSA私钥

rsautl - 使用RSA密钥进行加密，解密，签名和验证等运算

rsa - 处理RSA密钥的格式转换问题

创建密钥

生成RSA私钥，私钥长度为1024bit

$openssl genrsa -out private.pem 1024

从私钥提取公钥

$openssl rsa -in private.pem -putout -out public.pem

通过公钥加密

$openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey public.pem -pubin -out enc.txt

通过私钥解密

$openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.pem -out dec.txt

通过私钥加密

$openssl rsautl -sign -in message.txt -inkey private.pem -out enc.txt

通过公钥解密

$openssl rsautl -verify -in -enc.txt -inkey public.pem -pubin -out dec.txt

创建iOS开发使用的RSA文件（终端生成）

创建一个.csr文件(用于请求证书的文件)

$openssl req -new -key private.pem -out rsacert.csr

对RSA的private.pem进行认证

$openssl x509 -req -days 3650 -in rsacert.csr -signkey private.pem -out rsacert.crt

生成p12证书(私钥)

$openssl pkcs12 -export -out p.12 -inkey private.pem -in rsacert.crt

生成der文件(公钥)

$openssl x509 -outform der -in rsacert.crt -out rsacert.der

RSA特点

相对安全（非对称加密，私钥不用传递）

加密效率低

加密数据小