字符串匹配之有限自动机

字符串匹配的基本解决方案，是在长串中从头至尾遍历匹配模式串，直到找到完全匹配的位置，这样做一个最大的问题就是每次都重头开始匹配，完全没有用到已经匹配过的结果，非常的浪费，于是自动有限机和KMP就是基于这种利用已经匹配到的结果，在不匹配的位置出现时，立即查找下一个有效位置的算法。

在列出有限自动机的定义之前，想先讲讲这个算法的思想。所谓有限自动机机，我理解就是一张状态转移表，表头包括有限的模式串字符集与可能产生的状态。模式串字符集很好理解，例如要查找的模式串为aaba，那字符集就是{a, b}；可能产生的状态也很好理解，也用aaba举例，可能产生的匹配结果无非是，a, ab, aab, aaba, 那状态也就是0，1，2，3，4，表示的是当前匹配成功多少位了，只有当状态达到4的时候，才表示完全匹配到了。

字符串匹配的有限自动机的关键，就在于构建这个状态转移表。

下面给出《算法导论》里自动有限机的定义：

一个有限自动机M是一个5元组（Q, q0, A, ∑, δ）

• Q是状态的有限集合
• q0∈Q 是Q的初始状态
• A 是Q的子集，是一个特殊的接受状态集合
• ∑ 是有限输入字母表
• δ是一个从Q×∑到Q的函数，成为M的转移函数

有点抽象，但是对应到字符串匹配的问题里看看，就一目了然了，下面将用于匹配的模式串用P表示。
Q：就是此前提到的字符串可能匹配到的数目，从0到P.length；q0肯定是0呀；A很显然在完全匹配的情况下只能是P.length；∑ 就是前文所说的P的字符集，而重中之重的转移函数δ，就是接下来要详细解析一下的东西了。

状态转移函数其实也很好理解，以aaba为例。假设当前aaba与被匹配的字符串已经匹配到了aa两个字符，那么当前的状态就是2，在状态2的前提下，去查看下一个字符，如果下一个字符是b那么状态很自然就转移成了2+b= 2+1=3，如果下一个字符是a，a和b不相等了，那此时的状态是几呢？是0吗？需要重新开始匹配吗？显然不是呀，因为aaa 和 aaba明显 还是可以成功匹配aa的呀，所以状态2+a的结果仍旧是2，这个值的求解过程简单说来就是每当遇到一个不匹配的位置时，查看此前已经匹配成功的结果后缀与P的前缀最长的公共部分，例如aab的前缀与aaa的后缀能匹配到的最大长度就是2（这一部分算法导论里给了非常详细的证明，因为公式实在不好敲，加上论证也比较绕口，就不贴了哈，这个思想其实就是KMP算法的基础，下一篇文章会再分析）。这就是状态转移表的一行，现在我试着把整个状态转移表画出来。

| 状态 | a | b|
| -- |:-----:|
| 0 | 1 | 0|
| 1 | 2 | 1|
| 2 | 2 | 3|
|3| 4| 0|
|4| 2| 1|

要求出状态4与字符集的转移关系其实是为了查找下一个匹配位置的。而状态值，我啰嗦一下，就是表示当前能够匹配成功字符串长度，例如状态3+b=0，表示aabb的后缀( abb ,bb, b ) 都没有办法和aab进行匹配，我们就可以跳过abb和P的比较，直接进行到b之后的下一个字符了，这就是算法利用已知结果免去重复计算的方法。我们通过在状态表中根据当前状态+下一个字符输入查询得到新的状态，然后比较新的状态是否就是可接受状态P.length 来判断是否匹配成功，从而最终完成字符串的匹配。这就是自动有限机用在字符串匹配里的计算过程。

下面我贴一下求解状态转移表的伪代码

compute-transition-function(P, ∑)
      m = P.length
      for q = 0 to m
          for each character a in ∑
                k = min(m+1, q+2)
                repeat
                    k = k -1
                until P[0..k] == P[q-k..q]a
                δ(q, a) = k
      return δ