尾递归

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尾调用

在计算机科学里，尾调用是指一个函数里的最后一个动作是一个函数调用的情形：即这个调用的返回值直接被当前函数返回的情形。这种情形下称该调用位置为尾位置。若这个函数在尾位置调用本身（或是一个尾调用本身的其他函数等等），则称这种情况为尾递归，是递归的一种特殊情形。尾调用不一定是递归调用，但是尾递归特别有用，也比较容易实现。

在程序运行时，计算机会为应用程序分配一定的内存空间；应用程序则会自行分配所获得的内存空间，其中一部分被用于记录程序中正在调用的各个函数的运行情况，这就是函数的调用栈。常规的函数调用总是会在调用栈最上层添加一个新的堆栈帧（stack frame，也翻译为“栈帧”或简称为“帧”），这个过程被称作“入栈”或“压栈”（意即把新的帧压在栈顶）。当函数的调用层数非常多时，调用栈会消耗不少内存，甚至会撑爆内存空间（栈溢出）^[1]，造成程序严重卡顿或意外崩溃。尾调用的调用栈则特别易于优化，从而可减少内存空间的使用，也能提高运行速度。^[1]其中，对尾递归情形的优化效果最为明显，尤其是递归算法非常复杂的情形。^[1]

一般来说，尾调用消除是可选的，可以用，也可以不用。然而，在函数编程语言中，语言标准通常会要求编译器或运行平台实现尾调用消除。这让程序员可以用递归取代循环而不丧失性能。

定义

尾调用 (tail call) 指的是一个函数的最后一条语句也是一个返回调用函数的语句。在函数体末尾被返回的可以是对另一个函数的调用，也可以是对自身调用（即自身递归调用）

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尾递归

若函数在尾位置调用自身（或是一个尾调用本身的其他函数等等），则称这种情况为尾递归。尾递归也是递归的一种特殊情形。尾递归是一种特殊的尾调用，即在尾部直接调用自身的递归函数。对尾递归的优化也是关注尾调用的主要原因。尾调用不一定是递归调用，但是尾递归特别有用，也比较容易实现。

尾递归在普通尾调用的基础上，多出了2个特征：

• 在尾部调用的是函数自身 (Self-called)；
• 可通过优化，使得计算仅占用常量栈空间 (Stack Space)。

优化尾递归的分析与示例

对函数调用在尾位置的递归或互相递归的函数，由于函数自身调用次数很多，递归层级很深，尾递归优化则使原本 O(n) 的调用栈空间只需要 O(1)。因此一些编程语言的标准要求语言实现进行尾调用消除
以Swift为例

 func sum(_ n: UInt) -> UInt {
        if n == 0 {
            return 0
        }
        return n + sum(n - 1)
    }

调用sum(5)为例。相应的栈空间变化

sum(5)
5 + sum(4)
5 + (4 + sum(3))
5 + (4 + (3 + sum(2)))
5 + (4 + (3 + (2 + sum(1))))
5 + (4 + (3 + (2 + 1)))
5 + (4 + (3 + 3))
5 + (4 + 6)
5 + 10
15

可观察，堆栈从左到右，增加到一个峰值后再计算从右到左缩小，这往往是我们不希望的，所以在C语言等语言中设计for, while, goto等特殊结构语句，使用迭代、尾递归，对普通递归进行优化，减少可能对内存的极端消耗。修改以上代码，可以成为尾递归：

    func tailSum(_ n: UInt) -> UInt {
        func sumInternal(_ n: UInt, current: UInt) -> UInt {
            if n == 0 {
                return current
            } else {
                return sumInternal(n - 1, current: current + n)
            }
        }
        
        return sumInternal(n, current: 0)
    }

对比后者尾递归对内存的消耗

tailSum(5, 0) 
tailSum(4, 5) 
tailSum(3, 9)
tailSum(2, 12) 
tailSum(1, 14) 
tailSum(0, 15) 
15

则是线性的。

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调用栈

是计算机科学中存储有关正在运行的子程序的消息的栈。有时仅称“栈”，但栈中不一定仅存储子程序消息。几乎所有计算机程序都依赖于调用栈，然而高级语言一般将调用栈的细节隐藏至后台。

调用栈最经常被用于存放子程序的返回地址。在调用任何子程序时，主程序都必须暂存子程序运行完毕后应该返回到的地址。因此，如果被调用的子程序还要调用其他的子程序，其自身的返回地址就必须存入调用栈，在其自身运行完毕后再行取回。在递归程序中，每一层次递归都必须在调用栈上增加一条地址，因此如果程序出现无限递归（或仅仅是过多的递归层次），调用栈就会产生栈溢出。

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在Swift中编译器在Debug 模式下并不会对尾递归进行优化。我们可以在 scheme 设置中将 Run 的配置 改为 Release。

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阶乘的例子

    //普通递归
    func notailFactorial(_ n:Int) -> Int {
        if n == 1 {
            return 1
        }
        return n * notailFactorial(n-1)
    }

    //尾递归
    func factorial(_ n: Int) -> Int {
        func iter(product:Int , counter: Int = 1) -> Int {
            if product <= 1{
               return counter
            } else {
                return iter(product: product-1, counter: counter+product)
            }
        }
        return iter(product: n)
    }