晴神の模拟 | 递归（别重复）、并查集+DFS

1019 | 千姿百态

据说正儿八经应该用卡塔兰数。然鹅，不会。

• 可能的二叉树形态数 == 可能的二叉搜索树形态数
  任何一棵二叉树，按中序遍历的顺序给结点赋值（有序的），都可以形成二叉搜索树。

• 递归也可，一棵，n个结点，左右子树结点共 nn-1 个。
  可以拆成左0右nn-1，左1右nn-2， ……，到左nn-1右0。
  累加：左*右
  注意乘取模，加也取模。

• 注意保存结果，不要重复计算。

• 初始：结点数0，形态1种；结点数1，形态1种。

• 卡塔兰数
  递推h(n) = h(n-1)*(4n-2)/(n+1)不能用来取模，因为(4n-2)/(n+1)可能是小数。
  可以用另一个公式：(n+1)!(2n)!/n!

#include 
#include 

#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long LL;
LL type_cnt[1001] = {0};

LL dfs(int num) {
    if (num == 1 || num == 0) return type_cnt[num];
    for (int i = 0; i < num; ++i) {
        if (type_cnt[i] == 0) type_cnt[i] = dfs(i);
        if (type_cnt[num - i - 1] == 0) type_cnt[num - i - 1] = dfs(num - i - 1);
        type_cnt[num] = (type_cnt[num] + type_cnt[i] * type_cnt[num - i - 1] % MOD) % MOD;
    }
    return type_cnt[num];
}

int main() {
    int ign, n;
    scanf("%d%d", &ign, &n);
    type_cnt[0] = 1, type_cnt[1] = 1;
    printf("%lld\n", dfs(n));
    return 0;
}

1023 | 缺失数

像PAT里那道找缺失的最小正数一样写的，然后TLE。看了题解。

• 首先，n个数中缺失的最小正数不可能比n+1大。若记下正数排序，大于n+1的数不用记。
• 标准解法
  让每个数回到自己的位置
  遍历i从1到nn，若arr[arr[i]]中存的不是arr[i]，循环并swap。
  ⚠️循环，下标不要越界

#include 
#include 

using namespace std;
int vec[10000001];

int main() {
    int nn;
    long long temp;
    scanf("%d", &nn);
    for (int i = 1; i <= nn; ++i) {
        scanf("%lld", &temp);
        vec[i] = int(temp);
    }
    for (int i = 1; i <= nn; ++i) {
        while (vec[i] <= nn && vec[i] > 0 && vec[vec[i]] != vec[i])
            swap(vec[i], vec[vec[i]]);
    }
    for (int i = 1; i <= nn; ++i) {
        if (vec[i] != i) {
            printf("%d\n", i);
            return 0;
        }
    }
    printf("%d\n", nn + 1);
    return 0;
}

1024 | 宇宙树

有点综合。

• 可能有多个连通分量（输入边时，用并查集，标号大的合并到标号小的）。

• 从每个集合的老大开始DFS，注意维护路径的值。

• DFS的return条件

  • 自己就是老大。
  • 没有孩子了。
    只有一条边，且另一段结点在这条路径上（访问过，是父亲）。

• 路径值的加法需要用大整数加法（猝不及防……）

  • 大整数加法长度取两者中，不够就补0，注意最后的进位。
  • 注意前导0的处理，注意去除前导0之后为空再补一个0。
  • 注意算完reverse。

• DFS时路径的维护
  visited true/false，push_back/pop_back成对用。

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
int nn, mm, uf[10001];
string path_val, tree_val;
char types[10001];
vector graph[10001];
bool visited[10001] = {false};

int _find(int a) {
    return uf[a] < 0 ? a : uf[a] = _find(uf[a]);
}

void _union(int a, int b) {
    a = _find(a);
    b = _find(b);
    if (a != b) {
        int ta = min(a, b), tb = max(a, b);
        uf[ta] += uf[tb];
        uf[tb] = ta;
    }
}

string str_plus(string &sa, string &sb) {
    int la = sa.length(), lb = sb.length();
    int extra = 0, temp;
    string res;
    int i = la - 1, j = lb - 1;
    for (; i >= 0 || j >= 0; i--, j--) {
        int a = i >= 0 ? sa[i] - '0' : 0, b = j >= 0 ? sb[j] - '0' : 0;
        temp = extra + a + b;
        extra = temp / 10;
        temp %= 10;
        res += char(temp + '0');
    }
    if (extra) res += char(extra + '0');
    while (res.back() == '0') res.pop_back();
    if (res.empty()) res = "0";
    reverse(res.begin(), res.end());
    return res;
}

void DFS(int curr) {
    if (graph[curr].empty()) {
        string temp;
        temp += types[curr];
        tree_val = str_plus(tree_val, temp);
        return;
    }
    if (graph[curr].size() == 1 && visited[graph[curr][0]]) { // leaf
        path_val += types[curr];
        tree_val = str_plus(tree_val, path_val);
        path_val.pop_back();
        return;
    }
    visited[curr] = true;
    path_val += types[curr];
    for (auto item:graph[curr]) {
        if (!visited[item])DFS(item);
    }
    visited[curr] = false;
    path_val.pop_back();
}

int main() {
    scanf("%d%d\n", &nn, &mm);
    fill(uf, uf + nn, -1);
    int v1, v2;
    for (int i = 0; i < nn; ++i)
        scanf("%c ", &types[i]);
    for (int i = 0; i < mm; ++i) {
        scanf("%d%d", &v1, &v2);
        graph[v1].push_back(v2);
        graph[v2].push_back(v1);
        _union(v1, v2);
    }
    vector roots;
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < nn; ++i) {
        _find(i);
        if (uf[i] < 0) {
            roots.push_back(i);
            cnt++;
        }
    }
    printf("%d\n", cnt);
    for (int i = 0; i < cnt; i++) {
        tree_val = "0";
        DFS(roots[i]);
        printf("%s", tree_val.data());
        printf(i + 1 == cnt ? "\n" : " ");
        fill(visited, visited + nn, false);
    }
    return 0;
}