在《飞蛾真的是因为趋光所以扑火？》中我们谈到了自然底数e，自然底数e确实是一个神秘数字，这里的e不是一个字母，而是一个数学中的无理常数，约等于2.718281828459。但我总是在想，它到底怎么来的？
说到e，我们会很自然地想起另一个和它很像的常数π，它们都是常数（拥有确定不变的值），而且都是无理数（也称为无限不循环小数，无法写成两个整数之比） 。π的含义可以通过下图内接与外切多边形来很形象的理解。
假设圆的直径为1，其外切与内接多边形的周长可以构成π的估计值的取值范围上下限，内接与外切多边形的边越多，取值范围就越窄，只要边数足够多，取值范围上下限就可以越来越逼近圆周率π。
那e呢？首先，我们需要知道e这个自然底数的符号是由瑞士数学和物理学家Leonhard Euler(莱昂纳德·欧拉)命名的，取的Euler的首字母“e”。
但实际上，第一个发现这个常数的并而欧拉本人，而是雅可比·伯努利（Jakob Bernoulli）。要了解e的由来，就要谈到一个经济学名称“复利(Compound Interest)”，用俗话说就是所谓的“利滚利”。在引入“复利模型”之前，我们先看看最最基本的 “指数增长模型”。
我们知道大部分细菌是通过二分裂进行繁殖的，假设一种细菌1天分裂一次，也就意味着其每一天的数量都是前一天的两倍。
显然，如果经过x次分裂，通俗地说，也就是翻了x倍，那我们得到的总数将是初始数量的2x倍。即：
如果将 “翻倍”换一种更“文艺的”说法，也就是 “增长率为100%”，那我们可以将上式写为：
那么，当我们的增长率不是100%，而是50%、25%之类的，我们只需要将100%换成我们想要的增长率即可，这样就得到了更加普遍的公式：
这个公式的数学内涵是：数量以大小为return的增长率增长，在增长x次之后所得到的总数量为growth。
好了，介绍完指数增长，我们来看看雅可比·伯努利的发现：
从“离散复利”到“连续复利”
假设你有1元钱存在银行里，而且发生了严重的通货膨胀，银行的利率飙到了100%（就当银行疯了），银行一般一年付一次利息，自然，一年后你可以拿到1元的本金（蓝）和1元的利息（绿），一共两元。
现在银行的年利率不变，但银行为了招揽客户，推出一项惠民政策，每半年就付一次利息。那么到第六个月时，你就能够提前先拿到0.5元的利息。
机智的你会马上把利息提前存入，利息生利息(红)，专业术语叫“复利”，那么年底的存款余额将等于2.25元。
此时，我们可以这样看：即银行每半年的利率是50%（或者说100%/2），但一年结算两次。此时我们的计算公式和结果如下：
好，继续，假设现在银行为了和其他银行抢生意，短期不想赚钱了，彻底疯了！每四个月就付一次利息！而机智的你依然一拿到利息就立马存入，与半年付一次利息类似，只不过现在我们可以这样看：即银行每半年的利率是33.33%（或者说100%/3），但一年结算三次。
此时我们的计算公式和结果如下：
我的天，年利率虽然没有变，但随着每年利息交付次数的增加，你年底能从银行拿到的钱也在增加！那么是不是会一直增大到无穷大呢？
想得倒美…
现在假设存款人和银行都疯了，银行在保证年利率为100%的前提下连续不断地付给存款人利息，存款人天天呆在银行不走，拿到利息就往银行里存，感觉耳边响起了：左手右手一个慢动作。
但是，你会发现，似乎有一个“天花板”挡着你疯狂赚钱的小目标，这个“天花板”就是e！
如果，我们进行一系列的运算，不断地提高n的值，我们将看到以下结果：
只要n足够大，结果就会逼近e=2.718281845…
所以，当复利次数趋于无穷大，问题也就从离散复利变成了连续复利，所以我们称其为单位时间增长率为100%的连续复利模型，或者简称“连续复利模型”。对于连续模型，其结果都可以写成与e的表达式：e^rate·time，其中，rate代表利率，time表示时间。当利率为100%，时间为1个单位时间，结果即为e^100%·1=e。因此，e是所有连续增长过程都共有的基本增长率，其“自然”就体现在这儿！
然后，放个大招，高等数学微积分里的一个著名的极限，现在是不是顿时感觉好理解了，而不像高等数学课本中那样感觉就是一个傲娇的公式，总有一种拒人于千里之外的感觉。
好了，也就是说，就算银行的年利率是100%，你再怎么求银行给你“复利”，年底也不可能得到超过本金e倍的余额的。
况且，我是没见过哪个银行的年利率是100%而且还连续复利，还是洗洗睡吧~
Reference：
[1] Leonhard Euler, Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
[2]An Intuitive Guide To Exponential Functions & e,
https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/
[3] Prehistoric Calculus: Discovering Pi,
https://betterexplained.com/articles/prehistoric-calculus-discovering-pi/
(Sample picture source：betterexplained.com)
