2019牛客暑期多校训练营（第七场)

2019牛客暑期多校训练营（第七场)

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A. String

做法 比赛时预处理哪些子串是最小表示，然后 BFS 最短路。复杂度不是很合理，本地测试了下 300 组长度为 200 的 010101.... 串，严重 TLE，题目中数据范围的描述可能存在不严谨之处。

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B. Irreducible Polynomial

题意 判断一个多项式能否分解成若干个实系多项式。

做法 实系数多项式因式分解定理。多项式的非是根一定是共轭负数。

• 比赛时想了半天，发现这个东西不会做啊。
• RDC: 我们先求出所有根，再把这些根划分成很多个集合。
• F0_0H: 大胆猜结论，虽然猜的没一个对的。

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C. Governing sand

做法 按高度分类，从小到大枚举最大高度，比当前枚举的高度 h 要高的，一定删，比它小的，如果删前 ? 小的。

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E.Find the median

solved by F0_0H 194min -1

题意 每次插入\([l[i], r[i]]\),询问中位数

做法

• 很奇怪，数据为什么要这么搞，很容易让人想歪或者认为这是个强制在线题
• 离散化后权值线段树上二分即可，比赛时因为没考虑好边界条件，智障了很久...

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F.Energy stones

upsolved

题意 吃能量

做法 比赛中对着一个假做法自闭了很久，一直坚信其优美性和正确性

正解：

• 查询离线，依次计算每个石头对答案的贡献
• \(set\)维护包含当前石头的区间的\(ti\)
• 每次插入删除至多修改三个区间差，用树状数组维护即可
• 这种套路上次是在维护树上联通块大小上

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I. Chessboard

很精彩的一道题！

做法

• 设 \(A_i\) 为第 \(i\) 行全为 1，其它位置全为 0 的方阵。
• 设 \(B_j\) 为第 \(j\) 列全为 1，其它位置全为 0 的方阵。
• 一个 \(k\) 行 \(k\) 列，任取 \(k\) 个元素，每个元素不同行不同列的方阵，一定可以由 \(\{A_1,A_2,....,B_1,B_2.....\}\) 的生成的线性空间中。也就是 \(\sum_{i=1}^{k}a_iA_i+\sum_{j=1}^{k}b_jB_k\)
• 于是有 \(\sum_{i=1}^{k}a_i+\sum_{j=1}^{k}b_j \leq n\)
• 但很可惜，如上线性空间的基中只有 \(2k-1\) 个向量，因此表出方式不唯一。
• 对于不同的表出方式，令 \(d=min_{i=1}^{k} a_i\) 做变换 \(a_i:=a_i-d\), \(b_i:=b_i+d\)，于是我们识破了本质相同的矩阵的不同表出方式。
• 对于一个确定的 \(k\)，答案为 \(\sum_{i=1}^{k}a_i+\sum_{j=1}^{k}b_j \leq n(存在 a_i=0)\)
• 枚举 \(k\)，用 \(\sum_{i=1}^{k}a_i + \sum_{j=1}^{k}b_j\leq n, (a_i,b_j\geq0)\) 的解数，减去 \(\sum_{i=1}^{k}a_i + \sum_{j=1}^{k}b_j\leq n, (b_j\geq0, a_i\geq1)\) 的解数。即可，复杂度 \(O(n)\)

复盘

• 比赛时第一眼的想法：任选 \(k\) 个元素，之和相等，等价于任意子矩阵对角之和相等。建立线性方程组，第一行第一列的是主元，其它是自由元。
• 然后就没有然后了。
• 把矩阵中的元素当成变量，不失为一种合理的想法，但只有这个想法，就是视野狭窄了。
• 题解中的做法，把行和列当成了变量。
• 从行和列的角度考虑一个矩阵，这是常见的思路。

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