2019牛客暑期多校训练营（第九场)

2019牛客暑期多校训练营（第九场)

C. Inversions of all permutations

solved by rdc

题意 给序列，每种排列的贡献为 \(b^{inv}\) 。

做法

• 考虑每个元素不同的情况，从小到大，插入元素，枚举插入元素的位置，可实现递推。设 \(f_i\) 为 1 到 i 的排列的答案，\(f_{i+1}=f_i(1+B+B^2+...B^i)\)
• 有元素相同呢？
• \(\frac{f_n}{\prod_{i=1}^{mx} f_{c_i}}\) 就是答案。
• 这是为什么啊？
• 【伪证】数学归纳，考虑 \(a\) 个 0，和 \(b\) 个 1 的排列得分[排骨龙]。
• 用 \(E_x\) 表示 \(1\) 到 \(x\) 排列得分的期望。
• 对于 1,2,3...a,a+1,...a+b 给前 \(a\) 个染上白色，后 \(b\) 个染上黑色，那么 \(E_{a+b}=E_{a}E_{b}*(可达鸭)\)
• 可达鸭是啥？
• 是 “B 的 白和黑的逆序对个数 次幂”
• 为什么可以乘？
• 多个随机变量独立时，可以乘。
• 再一想，可达鸭不就是我们要求的东西吗？因此 \(排骨龙=\frac{f_{a+b}}{f_a*f_b}\)

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E. All men are brothers

solved by rdc, 64 -2

题意 有多个加边操作，求两两不属于同一连通块的四元组。

做法 考虑加一条边，有多少种方案解体，解体的方案，设加的边两端分别在集合 \(A,B\) 那么解体的方案恰有一个点在 \(A\) 中，一个点在 \(B\) 中，剩下的两个点分立与不同连通块。并查集维护联通块 size 即可

解体 维护 size 写错了，WA 了两发

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I. KM and M

upsolved

题意 计算 \(\sum_{k=1}^{n}[(km)\&m]\)

做法

• 按位考虑贡献。
• 第 \(B\) 位对答案的贡献为，满足 \(\frac{km}{2^B}\) 为奇数的 \(k\) 的个数，乘上，\(2^B\).
• 用 \([\sum_{k=1}^{n}km\%2^{B+1}]-[\sum_{k=1}^{n} km\%2^B]\) 就等于上面那个东西，类欧经典问题。
• 为什么呢？画直线 \(y=2^B,2*2^B,3*2^B,4*2^B.......\)，考虑取模的几何意义。

复盘

• 比赛时施展了昨天多校学到的按前缀分类，预处理后缀。