容斥原理题不会做？试试这个办法！马上理解马上会！

行测和中学数学试题中容斥原理的题很普遍，但是很多人只是死记公式，不能自己说服自己，这个结果是怎么来的，请看：

例1：学生选课，选择计算机的有63人，选择英语的有89人，选择数学的有47人，选择两门的有46人，三门均选的有24人，另有15人三门课都没选，问总共有多少学生？

设选择计算机的为A:63人，英语B:89人，数学C:47人。

则A+B+C为至少选择一门课的学生，其中包含选择了两门课的和选择了三门课的，AB\BC\AC在叠加的时候被重复计算了2次，而三门均选的（箭头所指的三角部分）在叠加的时候被重复计算了3次，而题目要求的是只选一门课的学生与不选课的学生之和，即总数。见下图。

即：题目所求的是把这三个圆分开，不要重叠。所以要用A+B+C的和减去重复计算的部分，即重叠的部分，对于选两门的重复计算了2次，保留一次，只减一次；对于选三门的重复计算了3次，保留一次，减2次。最后还要加上三门均不选的，即圈外但是在框内的。所以结果为63+89+47-46-24-24+15=120人。

咦，这不就和市场上大多参考书说的一样吗？那些重叠图画了一次又一次自己都晕了，别怕，看看下面这个办法！

这样打比方，让分别选择A、B、C三门课的人站成三队，但是选择其中两门的人站在哪儿呢？比如小明选了A和B，那他应该站在哪队？不妨再“造”一个小明，即现在有选A的小明和选B的小明，分别站在A队和B队。对于选了三门的就再“造”两个，如小红三门课都选了，则现在三队都有小红，分别是A小红、B小红、C小红。全部都站好队后，将三队的人数总和相加就得到总数，但是不管选了两门还是选了三门的人都是后来再造再补充的，人其实只有一个，只是选课不同造成“身份”不同，所以要把补充的减去才能得到实际的。对于只选两门的人，再造了一次，只减一次；选三门的，再造了两个，减两次。所以单独的A+B+C得到的结果还要减去只选两门的再减去两次三门均选的才是实际已选课的人数。最后加上三门均不选的，就得到了此次参加选课的总人数。

所以最终公式为A\B\C三种选择的相加，减去一次选两种的，再减去两次选3种的。跟我默念：A+B+C-选两种的-选三种的-选三种的。

拓展：

如果题目说得比较具体，把选了两门的各种情况列了出来，比如：

例2：学生选课，选择计算机的有63人，选择英语的有89人，选择数学的有47人，选择计算机和英语的有30人，选择计算机和数学的有25人，选择英语和数学的有35人，三门均选的有24人，另有15人三门课都没选，问总共有多少学生？

此时要将上一题的公式略加变形才能计算！！

设选择计算机的为A:63人，英语B:89人，数学C:47人。

选择计算机和英语的有30人：AB=30（可能包含三门都选的人）

选择计算机和数学的有25人：AC=25（可能包含三门都选的人）

选择英语和数学的有35人：BC=35（可能包含三门都选的人）

ABC=15

此时AB+AC+BC表示至少选了两门的人，如果要用上一题的公式，就要剔除选了三门的，保留只选两门的人，所以已经选课的实际人数=A+B+C-(AB+AC+BC- ABC)=124,再加上未选课的15人即得总人数。

如何判断是否用变形后的公式？

看题目叙述，如果是“仅选两门的有***，选三门的有**”、“选择两种商品的有***、选择三种商品的有**”就用标准公式，即第一种。如果题目说明了选择两种的具体情况，如例2，就用变形公式，另外，一般第二种情况中，三门均选的人数均小于任意两门的，即ABC