上一篇见此 『组合数学基础』。
循环排列
循环排列：从\(n\)个元素中选出\(m\)个排成圆圈的方案数，相当于线性排列时固定第一个数的方案。
一个循环排列可以对应\(m\)个线性排列，进而可以得到循环排列的计算公式：
\[Cir_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{m}=\frac{n!}{m\times (n-m)!}\]
鸽巢原理
一般形式
把\(n+1\)个物品放入\(n\)个盒子中，那么至少有一个盒子包含两个或两个以上的物品。
证明：
反证法，若每个盒子只有一个物品，则物品总数至多为\(n\)，矛盾。
加强形式
设有\(\sum_{i=1}^nq_i-n+1\)个物品放入\(n\)个盒子中，每个盒子中分别放了\(a_1,a_2,...,a_n\)个物品，则至少存在一个\(k\)，使得\(a_k\geq q_k\)。
证明：
反证法，若每个盒子满足\(a_i
下降阶乘幂和二项式系数
我们定义\(n^{\underline{k}}\)为\(n\)的\(k\)次下降阶乘幂，其计算式为：
\[n^{\underline{k}}=n\times (n-1)\times ... \times (n-k+1)\]
其中\(k\)是整数，\(n\)可以是任意实数。
我们发现组合数可以用下降阶乘幂来表示：
\[C_{n}^{m}=\binom{n}{m}=\frac{n^{\underline{m}}}{m!}\]
于是我们就可以扩充组合数的定义域。也就是说，组合数的上指标\(n\)可以为任意实数。
组合恒等式
对称恒等式
\[\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\]
对于\(n,m\in \N\)成立。
证明：
\[\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n!}{(n-m)!(n-(n-m))!}=\binom{n}{n-m}\]
吸收恒等式
\[\binom{r}{k}=\frac{r}{k}\binom{r-1}{k-1}\]
对于\(r\in \R，k\in \N^+\)成立。
证明：
\[\binom{r}{k}=\frac{r^{\underline{k}}}{k!}=\frac{r}{k}\times \frac{(r-1)^{\underline{k-1}}}{(k-1)!}=\frac{r}{k}\binom{r-1}{k-1}\]
相伴恒等式
\[(r-k)\binom{r}{k}=r\binom{r-1}{k}\]
对于\(r\in \R,k\in \N\)成立。
\[(r-k)\binom{r}{k}=\frac{r!}{(r-k-1)!k!}=r\times \frac{(r-1)^{\underline{r-k-1}}}{(r-k-1)!}\\\ \\=r\binom{r-1}{r-k-1}=r\binom{r-1}{k}\]
加法公式
\[\binom{r}{k}=\binom{r-1}{k-1}+\binom{r-1}{k}\]
对于\(r\in \R,k \in \N\)成立。
证明：
\[\binom{r-1}{k-1}+\binom{r-1}{k}=\frac{(r-1)^{\underline{k-1}}}{(k-1)!}+\frac{(r-1)^{\underline{k}}}{k!}\\ \ \\=\frac{k(r-1)^{\underline{k-1}}}{k!}+\frac{(r-k)(r-1)^{\underline{k-1}}}{k!}\\ \ \\ =\frac{r^{\underline{k}}}{k!}=\binom{r}{k}\]
上指标求和
\[\sum_{i=m}^n\binom{i}{m}=\binom{n+1}{m+1}\]
对于\(n,m\in \N\)成立。
证明：
设有\(n+1\)个物品，标号为\(1\sim n\)，现在从中选取\(m+1\)个物品，当选取的最大号码为\(i\)时，方案数为\(\binom{i}{m}\)，那么枚举累加方案数就得到了：\(\sum_{i=m}^n\binom{i}{m}=\binom{n+1}{m+1}\)。
平行恒等式
\[\sum_{i=0}^n\binom{m+i}{i}=\binom{m+n+1}{n}\]
对于\(n,m\in \N\)成立。
证明：
\[\sum_{i=0}^n\binom{m+i}{i}=\sum_{i=0}^n\binom{m+i}{m}\\ \ \\ =\sum_{i=m}^{n+m}\binom{i}{m}=\binom{n+m+1}{m+1}=\binom{n+m+1}{n}\]
上指标翻转
\[\binom{r}{k}=(-1)^k\binom{r-k-1}{k}\]
对于\(r\in \R,k\in \N\) 成立。
证明：
\[\binom{r}{k}=\frac{r^{\underline{k}}}{k!}\\ \ \\ =\frac{r\times (r-1) \times ... \times (r-k+1)}{k!}\\ \ \\ =\frac{(-1)^{k}\times (k-r-1)\times (k-r-2) \times ... \times (-r)}{k!}\\ \ \\ =(-1)^k\frac{(r-k-1)^{\underline{k}}}{k!}=(-1)^k\binom{r-k-1}{k!}\]
三项式系数恒等式
\[\binom{r}{m}\binom{m}{k}=\binom{r-k}{m-k}\binom{r}{k}\]
对于\(r\in \R , n,m\in \N\)成立。
证明：
\[\binom{r}{m}\binom{m}{k}=\frac{r!}{(r-m)!(m-k)!k!}=\binom{r-k}{m-k}\binom{r}{k}\]
范德蒙德卷积
\[\sum_{k=0}^n\binom{r}{k}\binom{s}{n-k}=\binom{r+s}{n}\]
对于\(r,s\in \R , n\in \N\)成立。
证明：
左边表示从\(r\)个男生中选\(k\)个人，从\(s\)个女生中选出\(n-k\)个人的方案数，求和即为在\(r+s\)个人中选\(n\)个人的方案数，可知：\(\sum_{k=0}^n\binom{r}{k}\binom{s}{n-k}=\binom{r+s}{n}\)。
二项式定理
二项式定理
在上一篇中，我们已经提到了经典的二项式定理，并用数学归纳法证明了该定理的正确性。
\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^{i}b^{n-i}\]
广义二项式定理
上文中，我们已经可以将组合数\(\binom{n}{m}\)的上指标扩充到实数域。在实数域的组合数中，二项式定理仍然成立，我们称之为广义二项式定理，又称牛顿二项式定理。
\[(a+b)^r=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{r}{i}a^{i}b^{r-i}\]
组合数的数论性质
若\(p\)为质数，则对于\(n\in[1,p-1]\)，有\(p\ |\ \binom{p}{n}\)。
证明：
\[\because \binom{p}{n}=\frac{p\times (p-1)\times ... \times (p-n+1)}{n!}\in \Z\\ \ \\ \therefore n!\ |\ p\times (p-1) \times ... \times (p-n+1)\\ \ \\ \because(p,n)=1\\ \ \\ \therefore n!\ |\ (p-1) \times (p-1) \times ... \times (p-n+1)\\ \ \\ \therefore p\ |\ \binom{p}{n}\]
多项式定理
定义多项式系数：
\[\binom{n_1+n_2+...+n_k}{n_1,n_2,...,n_k}=\frac{(n_1+n_2+...+n_k)!}{n_1!n_2!...n_k!}\]
则有如下的多项式定理成立：
\[(x_1+x_2+...+x_k)^n=\sum_{n_1+n_2+...+n_k=n}\binom{n_1+n_2+...+n_k}{n_1,n_2,...,n_k}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_k^{n_k}\]
两类阶乘幂
定义
我们已经定义下降阶乘幂：
\[x^{\underline{n}}=x\times (x-1)\times ... \times (x-n+1)\]
同理我们定义上升阶乘幂：
\[x^{\overline{n}}=x\times (x+1)\times ... \times (x+n-1)\]
我们可以提取符号，写成另一种形式：
\[x^{\underline{n}}=(-1)^n(x-n+1)^{\underline{n}},x^{\overline{n}}=(-1)^n(1-x-n)^{\overline{n}}\]
阶乘幂的二项式定理
二项式定理对阶乘幂仍然成立：
\[(a+b)^{\underline n}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^{\underline i}b^{\underline{n-i}}\\ \ \\ (a+b)^{\overline n}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^{\overline i}b^{\overline{n-i}}\]
不定方程的解数问题
正整数解
求不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n\)的正整数解的个数。
这个问题等价于把\(n\)个球放入\(k\)个盒子中，每个盒子中至少有\(1\)个球，由隔板法可知其方案数为\(\binom{n-1}{k-1}\)。
非负整数解
求不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n\)的非负整数解的个数。
我们可以新增\(k\)个球，这样问题就等价于把\(n+k\)个球放入\(k\)个盒子中，每个盒子中至少有\(1\)个球，由隔板法可知其方案数为\(\binom{n+k-1}{k-1}\)。
下界限制
求不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n\)的整数解的个数，满足\(x_1\geq a_1,x_2\geq a_2,...,x_k\geq a_k\)。
这个问题等价于不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n-a_1-a_2-...-a_k\)的非负整数解个数，可以其方案数为\[\binom{n+k-1-\sum_{i=1}^{n}a_i}{k-1}\]
上下界限制
求不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n\)的整数解的个数，满足\(a_1\leq x_1\leq b_1,a_1\leq x_2\leq b_2,...,a_k\leq x_k\leq b_k\)。
首先把限制转换为\(0\leq x_1\leq b_1-a_1,...,0\leq x_k\leq b_k-a_k\)，运用容斥原理，答案即为：
\[\binom{n+k-1}{k-1}-\binom{n+k-1-\sum_{i=1}^n(b_i-a_i+1)}{k-1}\]