【学习笔鸡】快速沃尔什变换FWT

【学习笔鸡】快速沃尔什变换FWT

OR的FWT

快速解决:
\[ C[i]=\sum_{j|k=i} A[j]B[k] \]
FWT使得我们
\[ FWT(C)=FWT(A)*FWT(B) \]
其中\(*\)是点积，就是对应位置乘起来。

而对于\(orFWT\)，
\[ C'[i]=FWT(C)[i]=\sum_{j\subseteq i}C[j] \]
那么证明一下：
\[ \begin{array} &C'[i]&=\sum_{j\subseteq i} C[j] \\ &=\sum_{j\subseteq i}\sum_{p|k=j} A[p]B[k] \\ &=\sum_{p\subseteq i,k\subseteq i} A[p]B[k] \\ &=\sum_{p\subseteq i} A[p]\sum_{k\subseteq i}B[k] \\ &=A'[i]B'[i] \end{array} \]
考虑\(A\)和\(A'\)的关系，其中\(A_0,A_1\)分别代表\(A\)的前\(2^{k-1}\)和后这么多项(下标都从0开始)。他们的差别是\(2^{k-1}\)位上的不同。其他相似。
\[ FWT(A)= \begin{cases} FWT(A_0),FWT(A_1+A_0) & k>0 \\ A & k=0 \end{cases} \]
逗号表示依次连接。

复杂度\(T(n)=2T(n/2)+T(n)=O(n\log n)\)，而一般来说\(n=2^m\)那么就是\(O(m2^m)\)

考虑\(IFWT\)

照猫画虎即可
\[ IFWT(A')= \begin{cases} IFWT(A'_0),IFWT(A'_1-A'_0) & k>0 \\ A' & k=0 \end{cases} \]
代码

inline void FWT_OR(int*a,const int&tag,const int&len){
    for(int t=1;t

AND的FWT

同样地，快速解决
\[ C[i]=\sum_{j\& k=i}A[j]B[k] \]
可以构造\(C'[i]=FWT(C)[i]=\sum_\limits{i\subseteq j} C[j]\)，至于为什么构造，这个\(j\&k=i\)可以看做\(i\)是\(j,k\)的子集。

同样有
\[ FWT(C)=FWT(A)*FWT(B) \]
证明:
\[ \begin{array} &C'[i]&=\sum_{i\subseteq j} C[j] \\ &= \sum_{i\subseteq j} \sum_{k\&p=j}A[k]B[p] \\ &= \sum_{i\subseteq k,i\subseteq p}A[k]B[p] \\ &= \sum_{i\subseteq k}A[k]\sum_{i\subseteq p}B[p] \\ &=A'[i]B'[i] \end{array} \]
同样地
\[ FWT(A)= \begin{cases} FWT(A_0+A_1),FWT(A_1)&k>0 \\ A&k=0 \end{cases} \]
同样的\(T(n)=O(m2^m)\)

同样地
\[ IFWT(A')= \begin{cases} IFWT(A'_0-A'_1),IFWT(A_1) &k>0 \\ A'&k=0 \end{cases} \]
同样地

inline void FWT_AND(int*a,const int&tag,const int&len){
    for(int t=1;t

XOR的FWT

也是快速解决
\[ C[i]=\sum_{j\oplus k=i}A[j]B[k] \]

这里\(FWT(X)\)貌似没有很直观的意义了，推式子的话其实也能理解
\[ FWT(C)=FWT(A)*FWT(B) \]
这里记录一个符号\(A\oplus B=C\)

那么

\(C=A\oplus B\)

拆成前后两半
\[ C_0=A_0\oplus B_0+A_1\oplus B_1 \\ C_1=A_0\oplus B_1+A_1\oplus B_0 \]
令
\[ X_0=(A_0+A_1)\oplus (B_0+B_1) \\ X_1=(A_0-A_1)\oplus (B_0-B_1) \]
那么，由于\(<+,\oplus>\)是满足分配率的
\[ C_0={X_0+X_1\over 2} \\ C_1={X_0-X_1 \over 2} \]
​

但是好像学这个无法和各路大佬进行交流，并且我好像并没有学会，那么...
\[ FWT(A)=\begin{cases}(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1)) & n>0\\A & n=0\end{cases} \]
证明：
\[ \begin{aligned} FWT(A\oplus B)=&(FWT(A\oplus B)_0+FWT(A\oplus B)_1,FWT(A\oplus B)_0-FWT(A\oplus B)_1)\\ =&(FWT(A_0\oplus B_0+A_1\oplus B_1+A_1\oplus B_0+A_0\oplus B_1)\\&,FWT(A_0\oplus B_0+A_1\oplus B_1-A_1\oplus B_0-A_0\oplus B_1))\\ =&((FWT(A_0)+FWT(A_1))\times(FWT(B_0)+FWT(B_1))\\ &,(FWT(A_0)-FWT(A_1))\times(FWT(B_0)-FWT(B_1))\\ =&(FWT(A_0+A_1)\times(B_0+B_1),FWT(A_0-A_1)\times FWT(B_0-B_1))\\ =&(FWT(A_0+A_1),FWT(A_0-A_1))\times(FWT(B_0+B_1),FWT(B_0-B_1))\\ =&FWT(A)\times FWT(B) \end{aligned} \]

用循环实现的技巧和NTT一致，控制长度，控制第几段，控制段内的循环变量

//@winlere
#include
#include
#include
#include

using namespace std;  typedef long long ll;
inline int qr(){
    int ret=0,f=0,c=getchar();
    while(!isdigit(c))f|=c==45,c=getchar();
    while(isdigit(c)) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
    return f?-ret:ret;
}
const int maxn=1<<18|1;
const int mod=998244353;

inline void FWT_OR(int*a,const int&len,const int&tag){
    for(int t=1;t>1);
    for(int t=1;t